Стационарное уравнение Шредингера

Решение уравнения Шредингера представим в виде произве­дения двух функций, одна из которых есть функция только ко­ординат, другая функция только времени, причем зависимость от времени задается гармоническим множителем exp(-iωt) = exp(- i(W/ħ)t):

Здесь W — полная энергия частицы. Подставив (3а) в общее уравнение Шредингера и сократив на соответствующий экспо­ненциальный множитель, после небольших преобразований по­лучим стационарное уравнение Шредингера:

Покажем, как из уравнения Шредингера получается кванто­вание энергии частицы, т.е. ситуация, с которой мы имеем дело, рассматривая атом водорода. Для наглядности математических выкладок выберем, однако, более простую модельную задачу, позволяющую понять, почему происходит квантование энергии.

Р ассмотрим электрон в одномерной (д /ду = 0, д/дz = 0) бесконечно глубокой потенциальной яме размером l (рис. 1).

потенциальный барьер. Электрон находится где-то в промежутке 0 < х < l. Записывая уравнение (4) для области II, подучим

Общее решение уравнения (5), уравнения гармонических колеба­ний, можно записать в виде

Используя граничное условие при х = 0, найдем

Второе граничное условие при х = l дает

Так как А ≠ 0, то sinωl = 0. Это возможно только в том случае, когда ωl =nπ, п — целое, отсюда следует квантование величины ω, а значит, и квантование энергии

Энергия электрона может принимать только дискретные значе­ния, так же как и в атоме водорода. Квантовые значения W_n называются уровнями энергии, а числа n, определяющие энерге­тические уровни частиц в потенциальной яме, называются кван­товыми числами.

Подставив значения ω_п в (6), получим

Используя условие нормировки, найдем

Отсюда после интегрирования имеем А = . Следовательно,

Положение электрона в пространстве точно определить невоз­можно. Понять это позволяют соотношения неопределенностей В.Гейзенберга, сформулированные им в 1927 году. Согласно этим соотношениям

Здесь ∆p_x — неопределенность импульса частицы в направлении оси x, ∆х — неопределенность координаты по этой же оси. Та­ким образом, чем точнее мы знаем положение частицы, тем более неопределенной оказывается ее скорость, и наоборот. Соотно­шения (12) вытекают из самой природы микрообъекта, являются его имманентными свойствами. Они никак не связаны с возмож­ностями измерительных приборов.

Имеет место также еще одно соотношение, касающееся точ­ности определения энергии микрообъекта. Оно имеет вид

где ∆W — неопределенность энергии микрообъекта, находяще­гося в данном состоянии, ∆t — время пребывания микрообъекта в этом состоянии. Значит, чем меньшее время микрообъект пре­бывает в каком-либо состоянии, тем более неопределенной ста­новится его энергия в этом состоянии.

Уравнение Шредингера является мощным инструментом в исследовании физики микромира. С его помощью можно деталь­но рассчитать атом водорода, а также более сложные многоэлек­тронные атомы и молекулы.

Соотношения неопределенностей позволяют нам понять, что микрообъект является достаточно сложным образованием, и опи­сать некоторые из его свойств.

Лекция № 40