Условия максимумов и минимумов интерференционной картины

Для вывода условий наблюдения максимального (I_max) и ми­нимального (I_min) значения интенсивности при наложении волн от двух когерентных источников, рассмотрим рис. 1. Если считать, что фаза колебаний в источниках S₁ и S₂ равна ωt, то в точ­ке Р первая волна возбудит колебание А₁ cos[ω(t – y₁/v₁)], вторая волна — колебание A₂ cos[ω(t – y₂/v₂)], где v₁ = c/n₁ и v₂ = c/n₂ — фазовые скорости распространения первой и второй волны. Разность фаз колебаний в точке Р равна

где λ_о — длина волны в вакууме.

Введем понятие оптическая длина пути l = пу, кото­рая равна произведению геометрической длины у пути свето­вой волны на показатель п преломления этой среды. Величина ∆l = l₂ — l₁ — разность оптических длин путей — называется оптической разностью хода ∆l. Тогда

т.е. колебания, возбуждаемые в точке р, происходят в одинако­вой фазе и оптическая разность хода

Таким образом, условие интерференционного максимума заклю­чается в том, что оптическая разность хода должна составлять целое число длин волн в вакууме.

Если разность фаз колебаний

то колебания, возбуждаемые обеими волнами, происходят в противофазе и наблюдается интерференционный минимум. Условие интерференционного минимума состоит в том, что оптическая длина пути равна нечетному числу полуволн:

Наблюдение интерференции света

1. Опыт Юнга. Выясним, как выглядит интерференционная картина, создаваемая на экране двумя когерентными источника­ми монохроматического света S₁ и S₂. Расстояние от источников до экрана Э (рис .2) равно L, а расстояние между источниками — d, причем L » d.

Интенсивность в любой точке экрана Р определяется опти­ческой разностью хода ∆l = |PS₂| - |PS₁|. Из рис.2 находим

откуда |РS₂|² - |PS₁|² = 2xd. Учитывая, что |РS₂|² - |PS₁|² ≈ 2L, имеем

Из условий максимумов и минимумов интерференции (6) и (7) получим координаты максимумов

и минимумов интерференционной картины

Число m является номером интерференционного максимума (ми­нимума). Расстояние между соседними максимумами (миниму­мами), называемое шириной интерференционной полосы, равно

Интерференционная картина представляет собой чередование светлых и темных полос, параллельных друг другу. Интерференция света в тонких пленках. Пусть имеется плоскопараллельная прозрачная пленка с показателем преломле­ния n₂. Монохроматическая волна из среды с показателем пре­ломления n₁ падает на эту пленку под углом а (рис. 3).

В результате преломления и отражения возникают лучи 1 и 2, которые являются когерентными и дадут интерференционную

картину, определяющуюся оптической разностью хода ∆l между этими лучами

где член — λ₀/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света в точке О от оптически более плотной среды (n > 1).

Согласно рис. 3, ОС - С В = d/cos τ, OA - ОB sin а -2dtgτsin a. Учитывая закон преломления света sin a = n sin τ, получим

В точке P будет наблюдаться максимум или минимум интенсив­ности, если оптическая разность хода (13) будет удовлетворять условию (6) или (8). Случай интерференции света в тонких плен­ках является примером возникновения полос равного наклона, так как каждому наклону (a = const) лучей соответствует своя интер­ференционная полоса.

3. Кольца Ньютона. Интерференционная картина наблюдает­ся в данном случае при отражении света, падающего на плоскую поверхность линзы от верхней и нижней поверхностей воздушно­го зазора между линзой и плоскопараллельной пластинкой. Ин­терференционные полосы, возникающие вследствие интерферен­ции от мест одинаковой толщины, называются полосами равной толщины.

В данном случае они имеют вид концентрических окружно­стей. В отраженном свете оптическая разность хода с учетом потери полуволны при отражении ∆l = 2d+ λ₀/2, где d — ширина воздушного зазора. Из рис. 4 следует, что R² = (R — d)² + r², где r — радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор d. Так как R² = R² - 2Rd + d² + r² и d « R, получим r² 2Rd и

Приравняв (14) к условиям максимума (6) и минимума (8), полу­чим выражение для радиуса m-го светлого кольца

и радиуса m-го темного кольца