Колебательный контур. Излучение электромагнитных волн

Простейший колебательный контур, в котором нет потерь на выделение тепла, показан на рис. 3.

Он состоит из конденсатора емкостью С и катушки индуктив­ности L. Пусть в момент времени t = 0 конденсатор был заряжен,

а ток в контуре отсутствовал. Тогда при t > 0 конденсатор на­чинает разряжаться через катушку индуктивности и процессы, происходящие в контуре, можно описать уравнением

Здесь мы воспользовались вторым правилом Кирхгофа и учли, что в замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напря­жений равна алгебраической сумме эдс. Падение напряжения на обкладках конденсатора V = q/c. Учитывая формулу для э.д.с. самоиндукции, а также, что

преобразуем (11) к виду

Здесь w = . Следовательно, период колебаний T=2π/ω= 2π . С уравнением (12) мы уже встречались много раз. Это уравнение описывает гармонические незатухающие колебания и имеет решение

Если колебательный контур сделать открытым, то часть энер­гии будет излучаться в окружающее пространство. При этом,

чтобы поддерживать постоянную амплитуду колебаний в конту­ре, его надо подпитывать генератором электромагнитных коле­баний. Для увеличения мощности излучаемого сигнала его ча­стота должна совпадать с частотой собственных колебаний кон­тура.

Возможная модель такой излучающей системы показана на рис. 4. Здесь Г — генератор. В пространстве вокруг контура появляется излучаемое электромагнитное поле. Чтобы не пере­гружать рисунок 4, на нем изображена только электрическая со­ставляющая этого поля.

В заключение отметим, что кроме самоиндукции имеет ме­сто также явление взаимной индукции (рис. 5). Ток в контуре I порождает магнитный поток через контур II, и наоборот

Величины L₁₂ = L₂₁ называются коэффициентами взаимной ин­дукции контуров. Изменение тока в контуре I порождает э.д.с. в контуре II. Очевидно

Примером применения явления взаимной индукции является та­кой прибор, как трансформатор.

Лекция № 31

Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны

Английский ученый Джеймс Клерк Максвелл в 1865 году, обобщив уравнения электромагнетизма, записал систему урав­нений, которая позволяет решить практически любую электро­динамическую задачу. В своей теории электромагнитного поля Максвелл использовал новое понятие — ток смещения, дал опре­деление электромагнитного поля и предсказал существование в пространстве электромагнитных волн. Запишем систему уравне­ний Максвелла в дифференциальной форме:

Здесь j — плотность тока, р — объемная плотность заряда, вели­чина dD/dt называется плотностью тока смещения. Дифференци­альные операторы rot и div определяются следующим образом. Вводится дифференциальный оператор набла (V)

где e_x, е_у, e_z, — единичные орты по осям x,y,z. Скалярное произведение

определяет операцию дивергенции. Векторное произведение V х Е = rot Е определяет операцию ротора.

С помощью системы (1) можно решить как прямую задачу, т.е. по известным источникам найти поля, так и обратную задачу, т.е. по известным полям определить источники.

Практическая задача о распространении электромагнитных (в частности, радиоволн) может быть достаточно сложной. Это связано с неоднородностью среды, анизотропией среды, слож­ностью рельефа поверхности, над которой происходит распро­странение, и другими особенностями задачи. Поэтому в каче­стве приложения системы (1) мы рассмотрим простую задачу о распространении плоской монохроматической волны в вакууме.

Плоская волна это такая волна, фронт которой представляет собой плоскость. Если волна распространяется вдоль оси х, то для полей в этом случае нет зависимости от координат у и г; д/ду = 0, д/dz = 0.

Монохроматической называется волна, поля которой меня­ются с течением времени по закону косинуса (coswt) или синуса (sinωt) при фиксированной частоте ω.

Рассмотрим в системе (1) поля вне источников j = 0, р = 0. Применяя операцию ротора к уравнению (1а) и воспользовав­шись материальным соотношением (1д), получим

Палее воспользуемся рядом математических соотношений

следовательно, rot rot Е = - ²E. Здесь ² — оператор Лапласа, определяемый следующим образом:

Значит, уравнение для поля Е принимает вид

Уравнение (4) описывает распространение электромагнит­ной волны в однородном пространстве. Лля выбранной зависи­мости от координат имеем

Для вакуума ε = μ= 1. Вводя обозначения е₀ μ₀= 1/с² и напра­вляя ось у вдоль Е, вместо (5) получим

Решением этого уравнения, как нетрудно убедиться (прямой под­становкой), является любая функция, зависящая от времени и ко­ординат следующим образом:

Функция Е_у1 описывает волну, распространяющуюся в положи­тельном направлении оси х, а функция Е_у2 описывает волну, бе­гущую в отрицательном направлении оси х. В качестве частного случая рассмотрим плоскополяризованную монохроматическую волну, бегущую в положительном направлении оси х; тогда

Эта волна бежит в положительном направлении оси х со ско­ростью с. Зафиксируем поверхность равной фазы ωt - (ω/c)x = const. Тогда с ростом t величина х также должна возрастать.

З аметим, что плотность энергии для электрической и маг­нитной составляющей волны одинакова

Энергия и здесь равномерно распределяется по степеням свобо­ды. Для излучения электромагнитных волн используется откры­тый колебательный контур. На высоких частотах в качестве ко­лебательного контура используется просто отрезок провода, на­зываемый вибратором. В зависимости от длины волны электро­магнитные волны классифицируются следующим образом:

Теория Максвелла позволила создать современное радио и телевидение. Сфера приложения этой теории чрезвычайно раз­нообразна.

Лекция № 32