3. Энергия электростатического поля

Для того, чтобы зарядить конденсатор, надо на его обкладки поместить заряд q и тем самым создать в нем электростатическое поле с разностью потенциалов

При разряде конденсатора именно эта разность потенциалов со­вершает работу над зарядом. Работа электростатического поля по перемещению бесконечно малого заряда dq равна

Полная работа, необходимая для зарядки конденсатора, равна:

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую не­обходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

Используем определение емкости конденсатора:

и формула (10а) может быть продолжена:

Формула (10а) выражает энергию взаимодействия зарядов через величину зарядов и емкости либо разности потенциалов на пла­стинах конденсатора (10б).

Воспользуемся (8) и (9), подставив их в (10б):

Так как объем конденсатора V= Sd, то:

Итак, энергия взаимодействия системы зарядов равна умножен­ной на объем плотности энергии создаваемого ими поля. Хотя формула (12) получена для плоского конденсатора, она имеет бо­лее широкий смысл.

Энергия поля, сосредоточенная в произвольной области про­странства, может быть найдена по формуле (для однородного и изотропного пространства с относительной диэлектрической проницаемостью ε):

Лекция № 23

Диэлектрики в электрическом поле

Диэлектрики — вещества, которые не проводят электриче­ский ток. Типичный диэлектрик представляет собой твердое те­ло, как правило, состоящее из упорядочение расположенных ней­тральных молекул вещества. Электрические заряды в молекулах являются связанными.

П ри помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле это поле проникает в среду и вызывает в каждой молекуле сме­щение электрических зарядов относительно друг друга в проти­воположных направлениях. Это явление называют поляризацией диэлектриков.

Система из двух связанных пространственно разделенных зарядов противоположного знака называется электрическим ди­полем. Произведение величины связанного заряда молекулы на вектор ∆r смещения зарядов относительно друг друга составля­ет ее электрический дипольный момент:

Вектор ∆r считается направленным от отрицательного заряда к положительному. Величина ∆r имеет порядок размера самой молекулы.

Электрический момент диполя и соответственная величи­на смещения зарядов пропорциональны электрическому полю Е, действующему на молекулу,

где коэффициент а₀ — электрическая восприимчивость молеку­лы. Множитель εо введен для того, чтобы электрическая воспри­имчивость оказалась безразмерной величиной.

Смещение заряда в молекуле на расстояние ∆r приводит к изменению электрического потенциала, с которым взаимодей­ствует заряд,

и к некоторому изменению потенциальной энергии молекулы во внешнем электрическом поле:

Используя (1), получаем

где  — угол между направлением внешнего поля и дипольного электрического момента.

Как известно из механики, состояние устойчивого равнове­сия отвечает минимуму потенциальной энергии тела. Как видно из (3), минимуму отвечает  =0

Следовательно, электрический момент диполя ориентируется по направлению поля Е.

где V — объем диэлектрика. Согласно (2) поляризация диэлек­трика пропорциональна напряженности поля внутри среды:

где а = (N/V)a_o — восприимчивость единицы объема диэлек­трика, N — число молекул, находящихся в объеме V вещества. Формула (4) определяет поляризованность большинства диэлек­триков кроме сегнетоэлектриков. Диэлектрическая восприим­чивость вещества а — величина безразмерная и всегда больше единицы.

Разберем, как ведет себя диэлектрик, помещенный в одно­родное электрическое поле.

Две разноименно зараженные пластины конденсатора созда­ют между собой однородное электрическое поле напряженно­стью E₀. Внесем в это однородное поле пластину из диэлектри­ка. Диэлектрик поляризуется под действием поля. В резуль­тате чего на грани диэлектрика, обращенной к отрицательной пластине конденсатора, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью (+σ'), а на противоположной грани ди­электрика, обращенной к положительной пластине конденсатора, — избыток отрицательного заряда с поверхностной плотностью (-σ') (рис. 1).

Нескомпенсироваявые заряды, появившиеся на торцах ди­электрика, называются связанными. Электрическое поле в ди­электрике складывается из внешнего поля Е₀ и внутреннего поля Е', которое создается нес компенсированными зарядами на тор­цах диэлектрика и направлено противоположно внешнему полю Е₀. Величина внутреннего поля будет:

Результирующее поле внутри диэлектрика будет:

г де S — площадь торца диэлектрика, d — расстояние между тор­цами диэлектрика.

В свою очередь, полный дипольный момент равен произве­дению связанного заряда каждой грани Q' = σ'S на расстояние d между ними:

Таким образом получается, что

Откуда следует, что поверхностная плотность σ' связанных за­рядов на торцах диэлектрика равна поляризации диэлектрика:

Учитывая (6), получим из (5):

Формула (7) определяет величину электрического поля внутри диэлектрика, расположенного в однородном электрическом поле Е₀ через поляризацию Р диэлектрика.

В свою очередь, поляризация диэлектрика пропорциональна полю внутри него (см.(4)) и формула (7) примет вид:

откуда найдем поле внутри диэлектрика:

Величина

и есть диэлектрическая проницаемость среды.

Формула (8) показывает, что электрическое поле в диэлек­трике ослабляется в ε раз вследствие его поляризации: появля­ются связанные заряды, которые частично ослабляют внешнее электрическое поле. Величина

называется вектором электрического смещения или электриче­ской индукцией. В вакууме Do = ε₀Е_0.

В однородной изотропной среде вектор электрической ин­дукции определяется следующим образом:

Вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (например, зарядами на пластинах конден­сатора), но при таком распределении их в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Плотность энергии электростатического поля в диэлектри­ке:

где Е — поле внутри диэлектрика, D — электрическая индукция.

Сравнивая (12) с плотностью энергии электрического поля в вакууме w₀, мы получим:

Формула (13) показывает, что в диэлектрике плотность электри­ческой энергии уменьшается в е раз при том же заряде на пла­стинах. Это означает, что заполняя конденсатор диэлектриком, мы можем сообщить конденсатору больший заряд при меньшей разности потенциалов между пластинами.

Лекция № 24