Эквипотенциальные поверхности

Электрический потенциал можно представить графически, изображая эквипотенциальные линии или в трехмерном про­странстве эквипотенциальные поверхности.

Эквипотенциальной называется поверхность, все точки кото­рой имеют одинаковые потенциалы. Иначе говоря, разность по­тенциалов между любыми двумя точками этой поверхности рав­на нулю и при перемещении заряда из одной точки в другую ра­бота не совершается. Если бы это было не так (т.е. существовала компонента Е, параллельная поверхности), то для перемещения заряда вдоль поверхности в направлении, противоположном этой компоненте Е приходилось бы совершать работу, что противоре­чит представлению об эквипотенциальной поверхности.

Тот факт, что силовые линии электрического поля перпен­дикулярны эквипотенциальным поверхностям, помогает постро­ению эквипотенциальных поверхностей, если известно располо­жение силовых линий (рис. 4).

На этом рисунке показано, что напряженность электроста­тического поля направлена по нормали к поверхности равного потенциала. Заметим, что вектор Е направлен всегда от точки

поля с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом, т.е. в сторону наискорейшего убывания потенциала:

где n — координата в направлении нормали к эквипотенциальной поверхности, a n — единичный вектор нормали.

Лекция № 22

Проводники в электрическом поле

1. Свойства проводников

Наиболее характерным проводником является чистый ме­талл: медь, железо, серебро и другие. В первом приближении металл логично представлять как упорядоченную (кристалли­ческую) решетку тяжелых ионов, погруженную в идеальный газ свободных электронов. Число свободных электронов очень ве­лико — порядка 10²² частиц в 1 см³ — и строго равно суммар­ному заряду ионов решетки. Поэтому металл остается в целом электрически нейтральным.

При помещении проводника во внешнее электростатическое поле под действием этого поля происходит мгновенное переме­щение свободных зарядов — электронов — против направления поля. Перемещение зарядов продолжается до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль.

Силы электрического взаимодействия с решеткой не позво­ляют электронам покинуть металл, поэтому происходит лишь не­большое смещение отрицательных зарядов относительно решет­ки — на величину порядка нескольких ангстрем

(1 А = 10^-4 мкм). В результате на поверхности проводника образуется избыток (недостаток) отрицательного заряда (рис. 1).

Внутри же проводника по-прежнему суммарный электриче­ский заряд в каждом элементарном объеме остается равным ну­лю. На поверхности проводника из-за смещения электронов образуется избыточный заряд, создающий электростатическое поле, направленное против внешнего, т.е. экранирующий внеш­нее поле. Свободные электроны упорядочение перемещаются до тех пор, пока экранирующее поле не компенсирует внешнее по­ле. В результате напряженность суммарного электростатическо­го поля в объеме проводника становится равной нулю и внешнее поле не проникает в проводник (рис. 1).

Отсутствие поля внутри проводника означает, что потенци­ал во всех точках внутри проводника постоянен: φ = const. Сле­довательно, поверхность проводника в электростатическом по­ле является эквипотенциальной. Из этого следует, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника напра­влен по нормали в каждой точке его поверхности.

Если проводнику сообщить некоторый заряд Q, то некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника. На поверхности незаряженного проводника потенци­ал равен нулю, а если проводнику сообщить заряд, то последний распределяется на его поверхности, создавая отличный от нуля потенциал, одинаковый на всей поверхности проводника.

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростати­ческого поля Е вблизи поверхности заряженного проводника и поверхностной плотностью σ зарядов на его внешней поверхно­сти. Для этого применим теорему Гаусса к бесконечно малому цилиндру с основанием S, пересекающему границу проводник-диэлектрик, причем ось этого цилиндра направлена вдоль векто­ра Е (рис. 2).

Поток вектора электрического смещения D = ε₀εЕ сквозь за­мкнутую цилиндрическую поверхность определяется только ло­тком сквозь наружное основание цилиндра:

так как внутри проводника напряженность электрического поля, а следовательно, и вектор электрического смещения, равны нулю. Отсюда получаем, что

где а — поверхностная плотность заряда. Или

где ε — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Формула (2) дает искомую взаимосвязь: напряженность электрического поля у поверхности проводника определяется по­верхностной плотностью зарядов.

Во внешнем электростатическом поле в весьма малой обла­сти вблизи поверхности проводника возникает избыток или не­достаток свободных электронов, т.е. появляется так называемый поверхностный индуцированный заряд.

Явление перераспределения поверхностных зарядов на про­воднике во внешнем электростатическом поле называется элек­тростатической индукцией. Силовые линии внешнего поля пер­пендикулярны к поверхности проводника и поэтому терпят раз­рыв: они заканчиваются на отрицательных зарядах и вновь начитаются на положительных (см. например, рис. 1).

Таким образом, внешнее поле не проникает в проводник и можно говорить о частичном "обтекании" электрическим полем проводящих тел.

На рисунке 3 показано частичное обтекание внешним од­нородным электрическим полем незаряженного металлического шара. На рисунке 3 показаны силовые линии поля (сплошные линии), эквипотенциальные поверхности (пунктирные линии) и заряд, индуцированный на поверхности шара.

Поскольку внешнее электростатическое поле не проникает в объем проводника, то на границе полости произвольной формы, созданной в объеме проводника, не возникает индуцированного заряда. Таким образом, проводник во внешнем поле играет роль экранирующей поверхности. На этом свойстве проводников основан принцип электростатической защиты.