Силовые линии

Для наглядного изображения электрических полей обычно используют силовые линии. Силовые линии (линии напряженно­сти) проводятся так, чтобы касательные к ним в каждой точке совпадали по направлению с вектором напряженности Е в этой же самой точке.

Чтобы с помощью силовых линий охарактеризовать не толь­ко направление, но и величину Е, принимают, что число линий, проходящих через единичную площадку, ориентированную пер­пендикулярно этим линиям, должно равняться численной вели­чине напряженности в данной области поля:

где ∆S_┴ — площадка, ориентированная перпендикулярно к Е.

Силовые линии начинаются на положительных зарядах и за­канчиваются на отрицательных (рис. 3) или уходят на бесконеч­ность и никогда не пересекаются.

Краткие выводы

Заряд — источник и объект действия электромагнитного по­ля. Поле — материальный носитель электромагнитных взаимо­действий зарядов, форма существования материи.

Электромагнитная сила — количественная мера интенсивно­сти взаимодействия зарядов.

Заряды, поля и силы существуют в неразрывной связи с про­странством, временем и движением материи.

Лекция № 20

Теорема Гаусса-Остроградского. Вычисление полей Поток вектора напряженности электрического поля

Элементарным потоком вектора напряженности ∆N называ­ется скалярная физическая величина, равная произведению мо­дуля вектора Е, площади площадки ∆S и косинуса угла между вектором Е и нормалью к площадке n (рис. 1). ∆N = Е∙∆S∙cos а. Полагаем, что ∆S → 0. Если поверхность замкнутая, то к ней выбирается внешняя нормаль. Полный поток через поверхность равен сумме потоков через все ее участки

Чтобы вычислить значение полного потока, оказывается полез­ным ввести вспомогательное понятие — телесный угол.

Телесным углом называется часть пространства, ограничен­ная некоторой конической поверхностью. Мерой телесного угла (рис. 2) служит отношение площади шарового сегмента S₀, выре­заемого данным телесным углом на поверхности сферы радиуса r, к квадрату этого радиуса. Единица телесного угла — стерадиан (ср) — это телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезаю­щий на поверхности сферы элемент, равный квадрату радиуса. Итак, Ω = 1ср, если S₀ = r². Полный телесный угол вокруг точки равен 4π ср.

Теорема Гаусса-Остроградского

Вернемся к выражению для элементарного потока ∆N. Пусть электрическое поле создается точечным зарядом q; тогда модуль Е будет

Элементарный поток в этом случае:

Площадь площадки соответствующего элементарного сегмента будет: ∆S₀ = ∆S cosа. Заметим, эта площадка площадью ∆S₀ перпендикулярна радиусу. Тогда по определению телесного угла можно написать:

Полный поток вектора Е через произвольную замкнутую поверх­ность будет:

Таким образом, если точечный заряд расположен внутри произ­вольной замкнутой поверхности, то полный поток вектора напря­женности через эту поверхность равен:

Обратите внимание, что этот результат не зависит ни от фор­мы поверхности, ни от того, где внутри поверхности расположен заряд.

В случае, когда заряд находится вне замкнутой поверхно­сти, поток вектора напряженности от этого источника равен ну­лю. Это следствие пояснено на рисунке, на котором изображе­на эта ситуация: заряд находится вне замкнутой поверхности и следствием этого является тот факт, что полный поток ∆N в эле­ментарном телесном угле ∆Ω будет равен нулю из-за того, что угол, образованный вектором Е и вектором внешней нормали к поверхности n₀ будет таким, что cosa₁ > 0, а cosa₂ < 0 (рис. 3.)

Если внутри поверхности расположен не один точечный за­ряд, а их совокупность или заряд распределен на некоторой по­верхности или в некотором объеме, то формула (1) обобщается на основе принципа суперпозиции:

Теорема Гаусса-Остроградского:

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сум­ме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную и диэлектрическую проницаемость данной среды (2).

Используя теорему Гаусса, можно вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела при условии нали­чия симметрии относительно центра, плоскости или оси.