Теплоемкость твердых тел

Каждая частица в твердом теле может колебаться вблизи своего положения равновесия во всех направлениях, т.е. име­ет три степени свободы. Согласно теореме Больцмана на ка­ждую степень свободы приходится средняя кинетическая энер­гия кТ/2. Поэтому средняя кинетическая энергия W_k = 3кТ/2. Кроме кинетической каждая частица твердого тела обладает значительной потенциальной энергией (в отличие от случая идеального газа). При достаточно высоких температурах раз­личные частицы можно считать независимыми гармоническими осцилляторами. У гармонического осциллятора средняя потен­циальная и средняя кинетическая энергии совпадают и поэтому полная средняя энергия одной частицы равна:

Полная внутренняя энергия одного моля вещества U получа­ется умножением W на число независимых колеблющихся ча­стиц. В одном моле химически простых веществ содержится N_a (число Авогадро) независимо колеблющихся частиц (ато­мов; под словом "моль" для таких веществ следует понимать грамм-атом), то есть

где R = 8.31 Дж/(К*моль) — универсальная газовая постоянная. Так как твердые тела имеют очень маленький коэффициент те­плового расширения, то для них теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении практически совпадают и можно говорить просто о молярной (а для химически простых веществ — об атомной теплоемкости С), численно равной уве­личению внутренней анергии U при повышении температуры на 1 К. Согласно (3), С = 3R 25 Дж/(К ∙ моль). Получаем закон Дюлонга и Пти:

Атомная теплоемкость всех химически простых твердых тел при достаточно высокой температуре равна 25 Дж/(град ∙ моль).

Если имеем дело не с химически простым веществом, а с со­единением, молекула которого состоит из т» атомов, то в моле этого вещества содержится nN_A частил и молярная теплоем­кость такого соединения С — 25•n Дж/(К ∙ моль).

Молярная теплоемкость твердых химических соединений при достаточно высокой температуре равна сумме атомных теплоемкостей входящих в него элементов (Джоуль и Копп, 1888).

В табл. 2 приведены теоретические и экспериментальные значения теплоемкостей как химически простых веществ, так и соединений. Согласие между теорией и экспериментом доста­точно удовлетворительное. Заметим, что закон Джоуля-Коппа имеет большую степень общности, чем закон Дюлонга-Пти и выполняется даже тогда, когда последний не работает.

С уменьшением температуры теплоемкости всех веществ сни­жаются, обращаясь в ноль при 0˚К (рис. 5), что можно объяс­нить только с позиций квантовой механики. Законы Дюлонга-Пти и Джоуля-Коппа верны при температурах, превышающих температуру Дебая , свою для каждого вещества. Законы эти выполняются и для жидкостей, хотя хуже, чем для твердых тел.

Лекция № 18

Основы гидродинамики Течение жидкости. Неразрывность струи

Жидкости, с которыми мы имеем дело в повседневной прак­тике, сжимаемы: их объем уменьшается а плотность растет с увеличением давления. Однако это уменьшение незначительно, то есть, реальные жидкости малосжимаемы; их сжимаемостью можно пренебречь.

В реальной движущейся жидкости действуют также силы внутреннего трения между слоями — жидкость вязка. Однако если указанные силы значительно меньше других сил, действу­ющих в задаче (например, силы тяжести), вязкость пренебре­жимо мала. Поэтому при упрощенном рассмотрении движения жидкости применяется модель идеальной жидкости:

Абсолютно несжимаемая и абсолютно невязкая жидкость назы­вается идеальной жидкостью.

При комнатной температуре модели идеальной жидкости неплохо соответствуют, например, спирт, эфир, вода.

Разобьем движущуюся жидкость на кусочки очень малых размеров — частицы жидкости или жидкие частицы. Каждой такой частице соответствует свой вектор скорости v.

Установившимся (стационарным) называется такое тече­ние жидкости, при котором жидкие частицы проходят через любую данную точку пространства с одной и той же скоростью.

Проведем линии, направления касательных к которым в ка­ждой точке совпадают с направлениями скоростей жидких ча­стиц, находящихся в данный момент времени в этих точках (рис. 1). Такие линии называются линиями тока. Эти линии на­глядно изображают течение жидкости. Их принято проводить гуще в тех местах, где больше скорость течения.

При установившемся течении скорость жидкой частицы в любой момент времени полностью определяется ее положением. Частицы движутся вдоль линий тока, которые не изменяются со временем. Так как частица может иметь только одну траекто­рию, то две линии тока либо совпадают, либо вообще не имеют общих точек (не пересекаются).

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Частицы жидкости перемещаются внутри своей трубки тока (рис. 2) как в трубе (отсюда и название), никогда не покидая ее. В самом деле, при выходе частицы за пределы трубки тока ее траектория (то есть, какая-то линия тока) пере­сечется с другой линией тока, ограничивающей данную трубку, что невозможно.

Выберем какие-нибудь два поперечных сечения с площадя­ми S₁ и S₂ некоторой достаточно узкой трубки тока идеальной жидкости (рис. 2). Так как трубка узкая, то можно считать, что все частицы сечения S₁ движутся с одинаковой скоростью v₁, а сечения S₂ — со скоростью v₂ За малый промежуток времени ∆t через первое сечение протечет объем S₁v₁∆t, а через второе — S₂v₂∆t. Так как идеальная жидкость несжимаема и поток ее не разрывается, то эти объемы равны: S₁v₁= S₂v₂. Сечения были выбраны произвольно, поэтому:

Для данной трубки тока произведение площади поперечного се­чения трубки на скорость течения жидкости есть величина по­стоянная:

уравнение неразрывности струи. Оно справедливо также для ре­альных труб. Например, скорость течения реки увеличивается со сближением ее берегов.