Число степеней свободы

Числом степеней свободы называется минимальное число ко­ординат, с помощью которого можно однозначно описать поло­жение молекулы в пространстве. Очевидно, что для фиксации положения одноатомной молекулы (материальной точки) доста­точно трех координат (х, у, z). Поэтому для нее i = 3. Для двухатомной молекулы, в случае жесткой связи между атома­ми, i = 5, так как для задания положения каждого из атомов нужно иметь три координаты, для двух атомов соответственно шесть координат, но из-за жесткой связи эти шесть координат связаны между собой с помощью одного уравнения. Поэтому шестую координату можно вычислить, зная пять других.

Можно рассуждать иначе — для задания положения центра тяжести молекулы в пространстве достаточно трех координат. Если добавить к ним еще два угла поворота относительно двух взаимно перпендикулярных осей, перпендикулярных к оси, со­единяющей атомы, то для однозначного определения положения молекулы в пространстве достаточно пяти координат. Поворот молекулы относительно оси, проходящей через атомы, очевид­но ее положения не меняет. Поэтому говорят о наличии у двух­атомной молекулы трех поступательных и двух вращательных степеней свободы.

Рассуждая аналогично, можно показать, что в случае жест­ких связей многоатомная (трех и более) молекула имеет шесть степеней свободы — три поступательных и три вращательных (рис. 4).

При высоких температурах (Т > 2000К) у молекул появля­ются дополнительные колебательные степени свободы. Далее будем считать все связи между атомами в молекуле жесткими.

Постулат Больпмана. В среднем на каждую степень свободы молекулы приходится одинаковая энергия, равная кТ/2. Значит энергия молекул равномерно распределяется по степеням сво­боды частиц. Таким образом средняя энергия молекулы, обла­дающей i степенями свободы, равна

где к — постоянная Больпмана, Т — абсолютная температура.

Внутренняя энергия идеального газа

Поскольку для идеального газа энергия межмолекулярного взаимодействия равна нулю, то внутренняя энергия идеального газа есть сумма кинетических энергий составляющих его моле­кул. Поэтому

где N — число молекул газа, Na — 6,02 • 10²³ моль^- — число Авогадро, т — масса газа, μ — молярная масса, R — к • N_a — универсальная газовая постоянная.

Как показывает формула (14), внутренняя энергия идеаль­ного газа пропорциональна его температуре. Она также тем больше, чем больше число степеней свободы молекул газа. Ча­сто формулу (14) записывают в виде

Здесь величина С_v — iR/2 имеет смысл молярной теплоемкости газа при постоянном объеме. Более подробно вопрос о транс­формации энергии, сообщаемой идеальному газу, будет рассмо­трен нами в следующей лекции.

Лекция № 12

Первое начало термодинамики. Работа газа. Теплоемкость Основные понятия

Термодинамика — это учение о связи и взаимопревращени­ях различных видов энергии теплоты и работы. Термодинами­ка основывается на двух опытных законах или началах. Пер­вое начало термодинамики представляет собой закон сохране­ния энергии применительно к термодинамике, однако, оно не указывает направления тепловых процессов. Это направление указывает второе начало термодинамики, определяя также наи­большие возможные превращения теплоты в работу при круго­вых процессах. Это имеет исключительно важное значение для техники. Введем некоторые основные понятия термодинамики.

Термодинамическая система — макроскопическое тело или группа тел, которым свойственны процессы, сопровождающие­ся переходом теплоты в другие виды энергии и обратные про­цессы. Термодинамические параметры — величины давления р, объема V и температуры T, полностью характеризующие со­стояние системы.

Внутренняя анергия тела U включает в себя кинетическую энергию хаотического движения молекул, потенциальную энер­гию их взаимодействия, кинетическую и потенциальную энер­гии колебательного движения атомов в молекулах и внутри­атомную энергию.

Молекулярно-кинетическая теория идеального газа с учетом только кинетической энергии движения молекул дает формулу:

Внутренняя энергия является функцией состояния, т.е. она за­висит только от термодинамических параметров данного состо­яния U = f(p,V,T). Изменение внутренней энергии AU = U₂ — U₁ определяется начальным и конечным состоянием системы.

Количество теплоты Q — количество энергии отданное или полученное телом в процессе теплопередачи. Это мера той ча­сти внутренней энергии, которая обусловлена хаотическим дви­жением частиц. Зависит от пути перехода системы из одного состояния в другое.

Работа А — мера переданной другому телу и телам механи­ческой энергии. И работа и количество теплоты не являются отдельными формами энергии, они проявляются в процессе пе­редачи энергии.

Количество теплоты и работы эхвивиалептпы, т.е. это вза-имопревращаемые формы передачи энергии и в реальных усло­виях они сопутствуют друг другу. Это было доказано в конце 18 - середине 19 века на многочисленных опытах, венцом которых стал опыт Джоуля по установлению механического эквивалента теплоты. В системе СИ [Q] = [А] = Дж.