Распределение молекул по скоростям и энергиям. Барометрическая формула

Молекулы газа движутся с различными по величине и на­правлению скоростями. Возникает вопрос: как распределены молекулы по скоростям? Ответ на этот вопрос дал выдающий­ся английский физик Джеймс Клерк Максвелл в 1859 году. В дальнейшем это распределение стали называть "распределени­ем Максвелла".

Для краткости рассмотрим молекулы одного сорта, каждая из которых обладает массой т. Будем полагать, что все на­правления движения молекул в пространстве равновероятны. Очевидно, что молекул, обладающих нулевой скоростью, прак­тически нет; также нет и молекул, обладающих бесконечно большой скоростью (с учетом эффектов теории относительно­сти скорости молекул не могут быть равны или превышать с = 3 • 10⁸м/с). Чтобы ответить на поставленный выше вопрос, нам нужно знать, какое количество молекул попадает в задан­ный интервал скоростей. Попробуем разобраться в этом вопро­се.

Пусть общее количество молекул, содержащихся в сосуде — N. Тогда обозначим через dN количество молекул, скорости ко­торых заключены в интервале от v до v + dv. Отношение dN/dv называется плотностью распределения молекул по скоростям. Функция f(v) — dN/(Ndv) называется функцией распределения молекул по скоростям или функцией распределения Максвел­ла. При этом также полагают, что газ находится в равновесном состоянии, т.е. температура и давление газа во всех частях со­суда одинаковы. Функция f(v) дает нам плотность вероятности того, что данная молекула обладает скоростью v. Очевидно, что

Это означает, что какой-то скоростью в интервале [0, ∞] моле­кула обязательно обладает. Вообще же, вероятность того, что скорость молекулы лежит в интервале [v,v + dv], задается соот­ношением dp = f(v)dv. Как показал Максвелл, функция распре­деления имеет вид

Здесь v_в = _, к = 1,38 • 10^-23Дж/К — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура газа. График функции распределения показан на рисунке 1.

Максимуму кривой распределения соответствует скорость v_в, называемая наиболее вероятной скоростью. Ее значение легко определяется, если производную от функции (1) прирав­нять к нулю. Тогда можно убедиться, что эта производная обращается в нуль при v = t>„; причем, экстремум, имеющий место в этой точке, соответствует максимуму функции распределения. Две другие характерные скорости (v) — средняя ариф­метическая и u — средняя квадратичная находятся из соотношений

Здесь μ — молярная масса газа, т — масса молекулы газа, R — универсальная газовая постоянная. Заметим, что с ростом тем­пературы T максимум функции распределения смещается впра­во вдоль оси v. При этом площадь под кривой распределения в силу определения функции f(v) не изменяется.

На рисунке 2 качественно показаны две кривые распределе­ния при различных температурах. Заштрихованные площади на рисунке 2 должны быть одинаковы.

Распределение Больцмана. Барометрическая формула

Рассмотрим газ, находящийся в поле тяжести Земли (в прин­ципе, это поле можно заменить любым другим силовым полем). Будем считать температуру газа во все точках среды одинако­вой и равной T. Выделим цилиндрический объем газа, показан­ный на рисунке 3.

Ось h направим вертикально вверх от поверхности Земли. Пло­щадь основания цилиндра обозначим через S. Пусть p+dp — это давление на верхнее основание цилиндра, р — давление на ниж­нее основание цилиндра, dh — высота цилиндра. Концентрацию молекул внутри цилиндра обозначим через п. Будем полагать, что рассматриваемый цилиндрический объем находится в со­стоянии равновесия. Следовательно, сумма действующих на него сил должна быть равна нулю.

На верхнее основание действует сила F = (р + dp)S, на ниж­нее (F + dF) = pS. Разница этих сил уравновешивается силой тяжести dMg - mgSn * dh. Здесь Sdh — объем цилиндра, dM — масса газа внутри этого объема. Отсюда имеем

Или после небольших преобразований

Учитывая, что n = р/(кТ), вместо (5) получим

Выполним интегрирование и сделаем последующие преобразо­вания

где р_о — давление на поверхности Земли, Отсюда вместо (7) имеем

Учитывая также, что р = пкТ, получим

Формула (8) называется барометрической формулой. Она пока­зывает, как меняется давление по мере увеличения высоты над поверхностью Земли. В реальной земной атмосфере давление уменьшается приблизительно в 3 раза при увеличении высоты

на 8 км. Формула (9) называется формулой Болъцмана. Она опи­сывает распределение молекул по потенциальным энергиям.

Чтобы узнать, какая часть из п молекул обладает данной скоростью, т.е. как они распределены по скоростям, п надо умножить на f(v). Тогда найдем

Формулу (10) иногда называют распределением Максвелла-Болъцмана. Ее можно привести к виду

Здесь в числителе экспоненты стоит сумма кинетической (W_K) и потенциальной (W_n) энергий молекул, т.е. ее полная механиче­ская энергия W. Поэтому распределение (11) есть фактически распределение по энергиям и его можно записать в форме

Отметим, что формула (12) остается верной для любого силово­го поля, а не только гравитационного. Экспериментально закон распределения Максвелла был проверен в 1920 году немецким физиком Отто Штерном. Закон распределения Больпмана так­же многократно проверялся экспериментально, например, с по­мощью барометров, поднимаемых на различные высоты.