4. Частные случаи

а) Начальные фазы одинаковы, амплитуды различные

Тогда из формулы (11) следует

Это уравнение прямой, т.е. результирующее колебание про­исходит по наклонной прямой 5, проходящей через положение

равновесия под углом а к направлению колебания х (рис. 3), tga = A₁/A₂.

Результирующее смещение где амплитуда результирующего колебания; тогда

б) начальные фазы различаются на ж/2, амплитуды различные

тогда из (11) получим

Это уравнение эллипса. Следовательно результирующее дви­жение материальной точки совершается по эллипсу, полуоси ко­торого равны амплитудам слагаемых колебаний (рис. 4). Если A₁= А₂ = А, то у¹ + х² = А², т.е. движение происходит по окружности радиусом А.

Направление движения по эллипсу определяется следующим образом. Если φ₀₁ = φ₀₂ +π/2, то уравнения слагаемых колеба­ний примут вид

При t = 0 и у = 0, а. х = A₂, т.е. материальная точка находится в положении (1) (рис. 4 и 5). С ростом t у — будет расти, а x — уменьшается, что соответствует движению против часовой стрелке. Если φ₀₂ = φ₀₁ +3π/2, nj

При t = 0 и у = 0, а. х = - A₂, т.е. материальная точка находится в положении 2 (рис. 5). С ростом t, у — увеличивается, а x — уменьшается, что соответствует движению по часовой стрелке.

Зависимость характера результирующей траектории от раз­ности фаз ∆φ представлена на рис. 6.

Если гармонические колебания совершаются под углом а (а ≠π/2), то проведя две взаимно перпендикулярные оси, одна из которых совпадает с гармоническим колебанием 2 (рис. 7), разложим затем гармоническое колебание 1 на два составляю­щих 1' и 2' по этим осям.

Тогда задача сведется к сложению двух однонаправленных гармонических колебаний 2 и 2' и затем сложению результиру­ющего гармонического колебания с перпендикулярным гармо­ническим колебанием 1'.

Умея складывать два любых гармонических колебания, мож­но сложить и любое их число.

Лекция № 8 Волны

Волной называется процесс распространения колебаний в пространстве. Волны принято подразделять на продольные и поперечные.

Продольной называется такая волна, у которой колебания со­вершаются в направлении распространения волны. Примером являются звуковые волны в газах и жидкостях, часть волн в упругих средах. Поперечной называется волна, у которой ко­лебания происходят в направлении, перпендикулярном по от­ношению к направлению распространения волны. Примером являются световые волны, волны на поверхности воды, часть волн в упругих средах.

Монохроматической (гармонической) называется волна, у ко­торой колебания в зависимости от времени происходят по зако­ну синуса или косинуса;

Здесь з — величина, колебания которой мы рассматриваем (на­пример, колебания давления для звуковой волны или колебания напряженности электрического поля в электромагнитной волне и т.п.); А — амплитуда колебаний, φ(t, у, z)= ωt + φ₁(х, у, z) — фаза колебаний. В случае произвольной зависимости от време­ни волновое возмущение можно представить как суперпозицию гармонических колебаний.

Фазовым фронтом называется геометрическое место точек в пространстве, колеблющихся в одинаковой фазе

При фиксированном моменте времени t = const это требование сводится к условию :

Плоской волной называется волна, у которой фазовый фронт является плоскостью. Наряду с плоскими, можно рассматри­вать и другие формы волновых фронтов, например, сфериче­ские, цилиндрические и т.п. Однако любую другую волну мож­но представить как суперпозицию плоских волн.

Лучом называется траектория, по которой движется волно­вое возмущение в среде. Лучи ориентированы перпендикулярно по отношению к фазовым фронтам. В случае однородной среды для плоской волны лучи являются прямыми линиями. В слу­чае плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси х, уравнение (1) принимает вид:

Здесь ω — циклическая частота волны, к = ω/с_в — волно­вое число, с_в — скорость распространения волны (фазовая ско­рость), φ₀ — начальная фаза. Имеют место также соотношения: Т = 2п/φ — период колебаний волны, λ = с_в • Т — длина волны, к = 2π/λ.

Соотношение (4) называется уравнением бегущей волны. Знак " -" соответствует волне, бегущей в положительном на­правлении оси х, а знак " +" волне, бегущей в отрицательном направлении оси а;. Уравнение, описывающее поверхность рав­ной фазы, в этом случае можно записать в форме:

Дифференцируя (5) по времени, имеем;

Отсюда

Знаки "+" и "-" соответствуют волнам, бегущим в положитель­ном и отрицательном направлениях оси х. Дифференциальное волновое уравнение, соответствующее (4), имеет вид:

Вывод этого уравнения для электромагнитных волн дан нами в лекции № 31.

Волны называются когерентными, если разность фаз этих волн в любой точке пространства не зависит от времени. При сложении когерентных волн, поляризованных вдоль одинаковых направлений, наблюдается явление интерференции, т.е. взаим­ного усиления и ослабления волн. В некоторой точке волны максимально усиливают друг друга, если разность фаз между волнами равна нулю (или четному числу π рад). Волны также максимально ослабляют друг друга, если разность фаз в данной точке равна π (или нечетному числу π рад). Подробнее явление интерференции рассмотрено в лекции № 33.

Распространяясь в пространстве с течением времени, волны переносят энергию. Рассмотрим, как рассчитать поток энергии, связанный с волнами различных типов.

Упругие волны. В этом случае атомы упругой среды (напри­мер, металла) совершают гармонические колебания. Полная энергия одного колеблющегося атома равна

где m — масса атома, v_max — амплитуда скорости при колеба­тельном движении атома, ω — циклическая частота колебаний, А — амплитуда смещения. Если концентрация атомов равна n, то очевидно, что полная энергия, связанная с колебательным движением частиц среды, заключенная в единице объема, рав­на:

Здесь р = пт — плотность среды. Тогда очевидно, что энергия, переносимая волной в единицу времени через единицу площа­ди поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волн, определяется модулем вектора Умова:

Величина |I| также называется интенсивностью волны. Вектор с_B ориентирован в направлении распространения волны.

Электромагнитные волны. В этом случае плотность энергии электромагнитного поля, связанного с волной, определяется по формуле :

Здесь Е — напряженность электрического поля волны, H — на­пряженность магнитного поля волны, ε₀ — электрическая посто­янная, μ₀ — магнитная постоянная, ε — диэлектрическая про­ницаемость вещества, μ — магнитная проницаемость вещества.

Энергия, связанная с электрическим и магнитным полем вол­ны, одинакова: (ε₀εЕ²/2 = μ₀μН²/2). Из (12) следует, что

Учитывая, что (см. лекцию № 31) и то, что — перпендикулярна как к Е, так и к Н, найдем

Этот вектор называется также вектором Умова-Пойнтинга. Он, согласно (14), определяется с помощью векторного произведе­ния векторов E и Н.

Электромагнитные волны, как и любые другие физические волны, производят давление на встречающиеся на их пути пре­пятствия, поглощающие и отражающие эти волны. Давление электромагнитных волн объясняется тем, что под влиянием электрического поля волны заряженные частицы вещества при­ходят в упорядоченное движение и подвергаются со стороны магнитного поля волны действию сил Лоренца.