Сложение гармонических колебаний

1. Сложение гармонических колебаний одного напра­вления. Пусть тело одновременно участвует в двух одинако­во направленных колебаниях одинаковой циклической частоты, описываемых уравнениями

x₁=A₁sin(ωt + φ₀₁), (1)

x₂=A₁sin(ωt + φ₀₂), (2)

очевидно (рис. 1), что

x = x₁ + x₂ или (3)

x=Asin(ωt + φ₀), (4)

Необходимо определить амплитуду А результирующего ко­лебания и начальную фазу φ₀. Применяя формулу преобразо­вания синуса суммы и подставляя в (3) выражения (4), (1), (2), получим

Asin ωt * cos φ₀ + Acos ωt *sin φ₀ = A₁sin ωt * cos φ₀₁ + A₁cos ωt *sin φ₀₁+

+ A₂sin ωt * cos φ₀₂ + A₂cos ωt *sin φ₀₂

приведя подобные,

Asin ωt * cos φ₀ + Acos ωt *sin φ₀ = (A₁ cos φ₀₁ + A₂ cos φ₀₂)sin ωt + (A₁ sin φ₀₁+ A₂ sin φ₀₂) cos ωt.

Очевидно, что равенство будет тождественно выполняться при условии равенства коэффициентов при sinurt правой и левой ча­стей и коэффициента при cos ωt правой и левой частей:

Возводя в квадрат и складывая формулы (5) и (6), получим

Вспомнив формулу соs(а ±β) — соsа • cosβ±sina • sinβ, получим

— формула амплитуды результирующего колебания. Поделив равенство (6) на равенство (5), получим

— формула для начальной фазы результирующего колебания.

2. Частные случаи

а) Циклическая частота и начальные фазы одинаковы, ампли­туды различны

Тогда из выражений (8) и (7) следует, что

В этом случае уравнение результирующего колебания примет вид

или, поскольку начальные фазы всех колебаний одинаковы,

б) Циклическая частота и амплитуды одинаковы, канальные фа­зы различны

Тогда из выражений (8) и (7) получим

В этом случае уравнение результирующего колебания будет

При φ₀₂ - φ₀₁ = 0, 2π, 4π…2nπ, где п = 0,1,2,3,.. А = 2A₁ — амплитуда максимальна. При φ₀₂ - φ₀₁ — π, 3π, 5π…(2n+1)n A = 0 — колебания взаимно гасятся.

3. Сложение двух взаимно перпендикулярных гармони­ческих колебаний

Пусть тело одновременно участвует в двух взаимно перпен­дикулярных колебаниях одинаковой циклической частоты, опи­сываемых уравнениями

Надо найти уравнение траектории у = f(x)_y исключив из урав­нений слагаемых колебаний время t. Разделив каждое уравне­ние почленно на соответствующую амплитуду и применив фор­мулу синуса суммы, получим

Выполним с последними уравнениями следующие преобразова­ния. Домножим первое и второе равенство на cos φ₀₁ и cos φ₀₂ соответственно и вычтем их друг из друга. Аналогичным обра­зом домножим исходные равенства на sin φ₀₂ и sin φ₀₁ и снова вычтем. В результате получим два новых уравнения

Возводя эти равенства в квадрат и складывая, получим

— это уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сто­ронами 2A₁ и 2А₂ (рис. 2). В результате материальная точка будет двигаться по атому эллипсу по часовой или против часо­вой стрелки (в зависимости от разности фаз).