Кинематические характеристики гармонического колебательного движения

х — смещение материальной точки от положения равновесия в любой момент времени, измеряется в метрах.

А — амплитуда колебаний — максимальное отклонение точ­ки от положения равновесия.

φ — фаза колебания, измеряется в радианах, tp = иЛ + <р₀ — аргумент тригонометрической функции в уравнении гармо­нического колебания. Фаза определяет смещение в любой мо­мент времени, т.е. определяет состояние колебательной систе­мы. Изменение фазы на 2тг соответствует промежутку времени в один период - Г.

φ₀ — начальная фаза колебания.

ω — циклическая частота, измеряется в рад/с.

T — период колебания (время одного полного колебания), измеряется в секундах.

v — частота колебания (число полных колебаний, совершае­мых за единицу времени), измеряется в герцах: 1 Гц = 1/с = с^-1.

Скорость гармонического колебания точки N (рис. 2). Ско­рость v колебания точки N определим как производную смеще­ния (2) по времени:

v= dx/dt = x= ω A cos ω t = ω A sin (ωt + π/2).

Следовательно, скорость v тоже совершает гармонические ко­лебания.

Ускорение гармонического колебания точки N (рис. 2)-. По­скольку скорость v зависит от времени t, то гармоническое ко­лебание совершается с ускорением о, которое определим как производную скорости (3) по времени (или вторую производ­ную смещения по времени)

a=dv/dt= ṽ =d²x/dt² = ẍ= - ω²Asinωt = - ω²x

Следовательно, ускорение а тоже совершает гармонические ко­лебания. ] Сопоставляя выражения для смещения, скорости и ускорения (формулы 1-4), приходим к следующим заключени­ям.

t	X	V	а
0	0	ω А	0
T/4	А	0	- ω2А
T/2	0	- ωА	0
ЗT/4	-А	0	ш3А
T	0	ωА	0

а) И смещение (x), и скорость (v), и ускорение (а) совершают гармонические колебания с одинаковой циклической часто- той ω > (одинаковым периодом T = 2ir/ ω = 1/j/).

б) Амплитуды — разные (ф. 1-4), А — у смещения (x), ω А у скорости (v), ω ²А — у ускорения (а).

в) Начальные фазы —разные. Колебание скорости (v) опережа- ет колебание (х) на π/2 по фазе или на T/4 по времени.

φ=2π/T*t; ∆t =∆φ T/2π= π/2 * T/2π= T/4

Колебания ускорения (а) опережают колебания (г) на по фазе или на T/2 по времени: t = πТ/{2ω) = T/2. Представим эти заключения в виде таблицы (учитывая, что ω>t = (2π/T)t).

Сила, вызывающая гармонические колебания. При гармониче­ском колебании а = f(t) const, следовательно, гармоническое колебание вызывается переменной силой (F). Под ее действи­ем материальная точка совершает гармоническое колебание с ускорением (a), следовательно:

F = та = -тА ω ² sin ω t = -mw³x = -kx, где k = m ω ². (5)

F = -kx. Знак минус означает, что сила направлена противопо­ложно смещению, т.е. эта сила стремится вернуть материаль­ную точку в положение равновесия. Поэтому сила F называ­ется возвращающей силой, а (к) — коэффициент возвращающей силы. Возвращающей силой может быть сила упругости, но мо­жет быть и квазиупругая сила, т.е. сила любой природы, вели­чина которой прямо пропорциональна смещению из положения равновесия. Зная коэффициент А, можно найти циклическую частоту и период колебания.

к = т ω ², ω = . (6)

Учитывая, что ω = , получим формулу периода пружинно­го маятника

T= ,. (7)

Полная энергия гармонического колебательного движения. При гармоническом колебании происходят периодические взаимные превращения кинетической W_K и потенциальной W_n энергии, об­условленной действием квазиупругой силы. Из этих энергий складывается полная энергия W колебательной системы:

=

(8)

Полная энергия гармонического колебания постоянна и пропор­циональна массе тела, квадрату циклической частоты и квадра­ту амплитуды колебаний.

Элементы теории колебания маятника

а) Физический маятник — твердое тело, совершающее пери­одические колебания относительно горизонтальной оси О под действием силы тяжести Р (ее составляющей F — возвращаю­щей силы). Угол а отклонения маятника длиной l (l — расстояние от точки подвеса до центра масс маятника) от положения равновесия ОО мал: а < 8° = 0,14 рад. Считаем, что а > 0 вправо от оси ОО (рис. 3).

Тогда F = -Psin a = -mgsina -mga =-mg x/l (9)

(знак минус, т.к. а — вправо, a F направлена влево). С другой стороны, рассматривая колебание как вращательное движение

массы (m) по дуге окружности, применим основное уравнение динамики вращения:

M = Iβ; Fl=Iβ или (10)

(а = βR = β1, см. лекцию № 5). Приравнивая правые части выражений (9) и (10), получим

или

Отсюда ω= . Учитывая, что ω = 2/T, получим период колебаний физического маятника

На практике часто физический маятник можно расматривать как математический.

б) Математический маятник — материальная точка, коле­блющаяся на невесомой и недеформируемой нити (рис. 4).

Лля материальной точки момент инерции математического маятника равен / = ml², где тп — масса материальной точки, I — длина нити. Подставляя выражение момента инерции в фор­мулу периода колебаний физического маятника (11), получим

Т =2π . (12)

При малых отклонениях а период колебаний маятника пропор­ционален корню из его длины, обратно пропорционален корню из ускорения свободного падения и не зависит от массы маят­ника.

Рис. 5.

О затухающих колебаниях. Энергия гармонического колеба­ния W ~ А². Потеря на неизбежное трение ведет к постепенному уменьшению амплитуды и, наконец, к полному затуханию колебаний (рис. 5). Вся энергия колебания перейдет в теплоту и колебания прекратятся.

О вынужденных колебаниях. Чтобы сделать колебания неза­тухающими, надо восполнять потерю энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой f = f₀ sinω_вt, назы­ваемой вынуждающей (f₀— амплитуда, ω_B — круговая частота вынуждающей силы).

Такое колебание называется вынужденным. Оно происходит с частотой ω_B (рис. 6). Определим амплитуду вынужденных ко­лебаний, пренебрегая трением и считая, что на тело действует только вынуждающая сила f и возвращающая сила F = -тω²х.

F + f = ma = -тω_в²х или -тω²х + f₀ sinω_вt = -тω_в²х

Откуда

Следовательно, амплитуда

(13)

Амплитуда зависит от соотношения ω и ω_в. При ω_в → ω бу­дет А → ∞ (однако, наличие трения этого не допускает). Рез­кое возрастание амплитуды колебаний при ω→ ω_в называется явлением резонанса. Посредством резонанса можно небольшой вынуждающей силой вызвать сильные колебания системы (часы на нити, мост при строевом шаге и т.п.).

Л екция №7