Вращательное движение твердого тела

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Момент инерции тела

Моментом инерции материальной точки относительно оси ОО' называется скалярная физическая величина, равная произ­ведению массы материальной точки т на квадрат расстояния г до оси (рис. 1)

I= mr². (1)

Момент инерции тела I равен сумме моментов инерции I_j со­ставляющих его материальных точек (рис. 2)

(2)

Здесь п — число материальных точек, составляющих тело.

Если n , а масса каждой из материальных точек т_j , то сумма в формуле (2) заменяется интегралом по объему тела

(3)

Здесь — плотность тела.

Пример. Вычисление момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно к стержню

Пусть т - масса стержня, l - его длина, т/l - линейная плотность стержня, т.е. масса, приходящаяся на единицу длины стержня. Тогда имеем dm = {m/l)dr (рис. 3).

.

Аналогичные расчеты моментов инерции других тел относительно оси, проходящей через центр масс тела дают

I=mR²/2 – для диска и цилиндра радиуса R, (5)

I=2mR²/5 – для шара радиуса R, (6)

I=ml²/12 – для стержня длиной l (7)

Как показывают приведенные формулы, момент инерции тела зависит от его массы m размера тела г или формы тела (шар или цилиндр) и положения оси.

Теорема Штейнера

Момент инерции тела I относительно произвольной оси ра­вен моменту инерции тела I₀ относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной, плюс произведение массы тела т на квадрат расстояния а между осями (рис. 4)

I=I₀ +ma². (8)

Воспользуемся теоремой Штейнера для расчета момента инер­ции стержня относительно оси/проходящей через конец стержня, зная момент инерции стержня через его центр масс.

Тогда имеем

I=1/12 ml²+m(l/2)²=1/3ml², (a = l/2) (8)

Формула (9) дает, очевидно, то же самое значение момента инерции, что и формула (4).

Момент силы

Моментом силы F относительно точки О называется вектор­ная физическая величина М, равная векторному произведению радиус-вектора к проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы (рис. 5)

M = r _* F (10)

Модуль вектора |М|= М равен (рис. 6)

M = F _* r _* sina = Fd. (11)

Значит момент силы по величине равен произведению модуля силы F на плечо d, где плечо силы d есть кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы (рис. 6).

Моментом силы F относительно оси z называется вектор­ная физическая величина М,, равная проекции на эту ось векто­ра момента силы М, определенного относительно произвольной точки О данной оси z:

M_z=(r_*F)_z. (12)