Решение

1. Случайная величина ξ может принять значения 0, 1, 2, 3. Определим вероятности, с которыми случайная величина ξ принимает то или иное значение.

Закон распределения в этой задаче описывается биномиальным законом распределения, поэтому можно применить формулу Бернулли:

P_n(m) = · p^m · q^n–m.

По условию задачи имеем:

n = 3; p = 0,8; q = 1 – p = 1 – 0,8 = 0,2.

Находим вероятности, с которыми СВ ξ принимает свои значения:

Р(ξ = 0) = P₀(3) = · 0,8⁰ · 0,2³ = 1 · 1 · 0,008 = 0,008;

Р(ξ = 1) = P₁(3) = · 0,8¹ · 0,2² = 3 · 0,8 · 0,04 = 0,096;

Р(ξ = 2) = P₂(3) = · 0,8² · 0,2¹ = 3 · 0,64 · 0,2 = 0,384;

Р(ξ = 3) = P₃(3) = · 0,8³ · 0,2⁰ = 1 · 0,512 · 1 = 0,512.

Следовательно, закон распределения случайной величины ξ имеет вид:

ξ	0	1	2	3
P	0,008	0,096	0,384	0,512

2. Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина ξ примет значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е. F_ξ(x) = P(ξ < x):

при x  0:

F(x) = P(x < 0) = 0;

при 0 < x  1:

F(x) = P(x < 1) = P(x = 0) = 0,008;

при 1 < x  2:

F(x) = P(x < 2) = P(x = 0) + Р(х = 1) = 0,008 + 0,096 = 0,104;

при 2 < x  3:

F(x) = P(x < 3) = P(x = 0) + Р(х = 1) + Р(х = 2) =

= 0,008 + 0,096 + 0,384 = 0,488;

при х > 3:

F(x) = P(x > 3) = P(x = 0) + Р(х = 1) + Р(х = 2) + Р(х = 3) =

= 0,008 + 0,096 + 0,384 + 0,512 = 1.

В итоге, имеем функцию распредления:

F(x) =

0 , при x  0; 0,008, при 0 < x  1; 0,096, при 1 < x  2; 0,384, при 2 < x  3; 0,512, при x > 3.

Построим ее график:

3. Математическое ожидание для биномиального закона равно:

Mξ = np = 3 · 0,8 = 2,4.

4. Дисперсия равна:

Dξ = npq = 3 · 0,8 · 0,2 = 0,48.

5. Среднее квадратическое отклонение:

σξ = = ≈ 0,6928.

Задание 5.7

Дана плотность распределения р(х) случайной величины ξ. Найти:

1) параметр с;

2) функцию распределения F(x);

3) математическое ожидание Mξ;

4) дисперсию Dξ;

5) вероятность попадания случайной величины ξ на отрезок [a; b].

p(x) = a = , b = .

Решение

1) Воспользуемся свойством нормировки плотности вероятности = 1.

Получаем:

= = –с = – с = 1.

Следовательно с = –4 и плотность распределения имеет вид:

р(х) = .

2) Воспользуемся свойством плотности вероятности F(x) = .

Тогда:

при х  0: F(x) = 0;

при 0 < x  : F(x) = P(ξ < x) = = – 4 = 4cos²x – 2;

при x > : F(x) = – 4 + = 1.

В итоге имеем:

F(x) =

Рис. 5.1. График функции распределения F(x)

3) Математическое ожидание случайной величины ξ:

Mξ = = –4 = π + – 1 = 2,4840.

4) Дисперсия случайной величины ξ:

Dξ = – (Mξ)² = Mξ² – (Mξ)²;

Mξ² = –4 = π² – + π – π = 6,1760;

Dξ = Mξ² – (Mξ)² = 6,1760 – (2,4840)² = 0,0057.

5) Вероятность попадания случайной величины ξ на отрезок [π/2; 3π/4] определим, используя функцию распределения:

Р(π/2  X  3π/4) = F(3π/4) – F(π/2) = 1 – 0 = 1.