Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»

Контрольная работа

по курсу «Высшая математика»

Теория вероятностей и математическая статистика

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

Вариант № 7

Гродно 2012

Содержание

Задание 1.7 3

Задание 2.7 4

Задание 3.7 5

Задание 4.7 6

Задание 5.7 8

Задание 6.7 10

Задание 7.7 14

Список использованной литературы 17

Задание 1.7

1.7. Из девяти телевизоров два бракованные. Найти вероятность того, что среди взятых наугад четырех телевизоров хотя бы один бракованный.

Решение

Воспользуемся классическим определением вероятности, по которому вероятность некоторого события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу возможных исходов:

Р(А) = N(A) / N(Ω).

Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 4 телевизора из 9, т.е. числу сочетаний из 9 по 4:

N(Ω) = = = = 126.

Для события А (среди взятых наугад четырех телевизоров хотя бы один бракованный) противоположным является событие (среди взятых наугад четырех телевизоров ни одного бракованного). Число исходов, благоприятствующих событию , равно произведению числа способов, которыми можно не выбрать ни одного телевизора из 2 бракованных, на число способов, которыми можно выбрать 4 телевизора из 9 – 2 = 7 исправных:

N( ) = · = 1 · = = 35.

Следовательно, искомая вероятность равна

Р(А) = 1 – Р( ) = 1 – = 1 – = ≈ 0,7222.

Ответ: ≈ 0,7222.

Задание 2.7

2.7. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий соответственно равна: 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

Решение

Введем обозначения:

событие А – лампа проработает заданное число часов;

гипотеза Н₁ – лампа принадлежит первой партии;

гипотеза Н₂ – лампа принадлежит второй партии;

гипотеза Н₃ – лампа принадлежит третьей партии.

По условию задачи имеем вероятности:

Р(Н₁) = 0,25; Р(Н₂) = 0,5; Р(Н₃) = 0,25;

Р(А / Н₁) = 0,1; Р(А / Н₂) = 0,2; Р(А / Н₃) = 0,4.

Воспользуемся формулой полной вероятности:

Р(А) = .

Отсюда вероятность того, что лампа проработает заданное число часов:

Р(А) = 0,25 · 0,1 + 0,5 · 0,2 + 0,25 · 0,4 = 0,025 + 0,1 + 0,1 = 0,225.

Ответ: 0,225.

Задание 3.7

3.7. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,3. Найти вероятность того, что для 800 заготовок число бракованных колец заключено между 225 и 250.

Решение

Воспользуемся формулой интегральной теоремы Лапласа:

Р(m₁ < X < m₂) = Ф – Ф ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа, значения которой находят по таблице.

По условию имеем:

p = 0,3; n = 800; m₁ = 225; m₂ = 250.

Находим:

q = 1 – p = 1 – 0,3 = 0,7; np = 800 · 0,3 = 240; npq = 240 · 0,7 = 168;

= = 12,96.

Таким образом, вероятность того, что для 800 заготовок число бракованных колец заключено между 225 и 250, равна:

Р(225 < X < 250) = Ф – Ф =

= Ф(0,7715) – Ф(–1,1573) = 0,2798 + 0,3764 = 0,6562.

Ответ: 0,6562.

Задание 4.7

Для заданной дискретной случайной величины ξ найти:

1) закон распределения;

2) функцию распределения F(x) и построить ее график;

3) математическое ожидание Mξ;

4) дисперсию Dξ;

5) среднее квадратическое отклонение σξ.

4.7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Случайная величина ξ – число попаданий в цель при трех выстрелах.