Зміст

Вступ……………………………………………………………………………….3

Розділ 1. Стохастичне програмування…………………………………………...5

1. Постановка задачі стохастичного програмування…………………………...5

2. Одно етапні задачі стохастичного рограмування…………………………...8

3. Двоетапні задачі стохастичного програмування……………………………11

Розділ 2. Практична частина……………………………………………………16

Задача 1…………………………………………………………………………..16

Задача 2…………………………………………………………………………..21

Задача 3…………………………………………………………………………..24

Задача 4…………………………………………………………………………..34

Задача 5…………………………………………………………………………..36

Задача 6…………………………………………………………………………..44

Висновок…….………………………………………………………………….. 47

Список використаної літератури……………………………………………….48

Вступ

Детерміновані моделі математичного програмування часто виявляються неадекватними реальним процесам в економіці. Це пояснюється неповнотою, неточністю даних, на основі яких формується модель. В одних випадках деякі, а можливо і всі параметри моделі носять характер ймовірності. Тоді говорять про ситуації, пов’язані з ризиком. В інших випадках наявна інформація не дозволяє скласти уявлення про характер зміни параметрів, які характеризують процес, що вивчається. Такі ситуації називають невизначеними.

В повсякденній практиці , як правило, не враховують імовірнісний характер параметрів, вважаючи їх постійними і рівними очікуваним значенням. Якщо зміни параметрів незначні, то такі дії в більшій мірі виправдані і результат, отриманий з допомогою методів лінійного програмування, буде цілком придатним для практичних цілей. Проте планування на основі таких оптимістичних прогнозів та чинників, що впливають на виробництво і споживання, часто виявляється необґрунтованим через відсутність резервів для корекції нев’язок, які виникають, якщо яка-небудь ланка в ланцюзі виробництва дає менше, ніж очікувалося за оптимістичним прогнозом. Набагато доцільніше планувати за середніми показниками, якщо їх розсіювання достатньо велике. Але і в цьому випадку реальні значення показників можуть значно відрізнятися від середніх значень, і запропонований план виявиться непридатним. Для дослідження описаних ситуацій розробляються спеціальні методи, об’єднані в розділі математичного програмування, що називається стохастичним програмуванням.

Стохастичне програмування вивчає теорію і методи розв’язування задач на умовний екстремум при неповній інформації про умови задач. Початок дослідженням в області стохастичного програмування поклала праця Данціга «Лінійне програмування в умовах невизначеності» (1955 р.) і праця Фергюсона і Данціга «Розподіл літаків по авіалініях – як приклад застосування лінійного програмування в умовах невизначеності» (1956 р.).

Сьогодні стохастичне програмування – наука, що інтенсивно розвивається. Оптимізаційні задачі, при постановці яких немає вичерпних даних про їх умови, називають стохастичними. Оскільки такі задачі: доводиться ставити і вирішувати при недостатній інформації, то це веде до зниження економічної ефективності одержаних рішень. У стохастичних задачах внаслідок прийняття певного плану можна визначити, як правило, лише певний розподіл відповідних значень цільової функції. У деяких задачах сам оптимальний план підлягає статистичному розподілу, у встановленні якого i полягає розв’язання задачі.

В стохастичному програмуванні виділяють одно етапні, двох етапні і багатоетапні задачі. Метою нашого дослідження є характеристика одно- та двоетапних задач.

Розділ 1. Стохастичне програмування

1. Постановка задачі стохастичного програмування

Типову задачу математичного програмування в детермінованій постановці формулюють так: визначити вектор  , для компонент якого:

,

,

.

Якщо функції в даній задачі крім керованих параметрів Х залежать ще і від деяких випадкових величин  , то маємо задачу стохастичного програмування:

,

,

,  ,

де Ω — простір подій ω.

Залежно від можливості отримати та врахувати інформацію стосовно детермінованості (стохастичності) функцій  ,   постановки задач стохастичного програмування можуть містити:

• стохастичні коефіцієнти цільової функції та детерміновані обмеження;

• детерміновані коефіцієнти цільової функції та стохастичні вільні члени і коефіцієнти системи обмежень;

• стохастичні коефіцієнти цільової функції, вільні члени і коефіцієнти системи обмежень.

Конкретні постановки задач стохастичного програмування мають свою специфіку. Передусім необхідно визначити:

• Детермінованим чи випадковим є вектор Х. Якщо вектор Х є детермінованим, то він не залежить від випадкових параметрів моделі. Якщо ж він випадковий, то тоді Х є функцією від ω —  , тобто залежить від випадкових змінних.

• Як розуміти максимізацію (мінімізацію) цільової функції — як абсолютну (для всіх значень  ) чи як максимізацію її математичного сподівання або деякої іншої ймовірнісної характеристики цієї функції (моди, медіани), або як мінімізацію середнього квадратичного відхилення? Наприклад, що краще мати: платню 500 ± 200 чи 450 ± 50? У першому разі платня може змінюватися в межах від 300 до 700 гривень, а у другому — лише від 400 до 500.

• Як виконуються обмеження: абсолютно для всіх   чи в середньому, або з допустимими порушеннями, ймовірність яких мала?

При постановці задач стохастичного програмування необхідно виходити не лише з математичних міркувань, а й з економічного змісту та з врахуванням евристичних міркувань. Наприклад, детермінованість чи стохастичність вектора Х зумовлюється сутністю економічних, технологічних процесів тощо. Для сільськогосподарського підприємства, наприклад, вектор, що визначатиме площі посіву сільськогосподарських культур, обов’язково має бути детермінованим. Якщо ж шуканий вектор для того самого підприємства за тих самих умов визначатиме, приміром, обсяги кредитів, то його компоненти мають бути стохастичними величинами, бо достеменно невідомо, чи вони будуть отримані.

Методи розв’язування стохастичних задач поділяють на дві групи — прямі та непрямі.

Прямі методи використовують для розв’язування задач стохастичного програмування, коли існують способи побудови функцій і на базі інформації щодо параметра ω. Непрямими є методи зведення стохастичної задачі до задачі лінійного чи нелінійного програмування, тобто перехід до детермінованого аналога задачі стохастичного програмування.

2. Одноетапні задачі стохастичного програмування

Розглянемо лінійну одноетапну задачу стохастичного програмування в такій постановці: визначити план Х, для якого

,

,

,

де вектор коефіцієнтів при змінних у цільовій функції    , матриця коефіцієнтів при змінних у системі обмежень    , а також вектор    є випадковими величинами; ω — випадковий параметр, Ω — множина значень ω, що з’являються з певною ймовірністю. Нехай   — нормально розподілена випадкова величина з математичним сподіванням   і дисперсією  , а   і   — нормально розподілені випадкові величини з математичними сподіваннями відповідно   та   і дисперсіями  .

Оскільки в обмеженнях задачі виду   матриця   та вектор   є нормально розподіленими випадковими величинами, то їх різниці    також є випадковими величинами з нормальним розподілом, математичним сподіванням     і дисперсією  .

Обмеження   еквівалентні нерівностям . Враховуючи, що   нормально розподілена випадкова величина, використаємо функцію нормального закону розподілу, внаслідок чого наведену нерівність можна записати так:

.

Позначимо:  . Тоді останню нерівність зведемо до вигляду:

,

звідки   .

Підставивши в цю нерівність значення   і  , отримаємо:

.

Отже, початкову стохастичну задачу зведено до детермінованого аналогу з лінійною цільовою функцією та нелінійними обмеженнями:

за умов:

.

Таку задачу можна розв’язати одним з відомих методів розв’язування задач нелінійного програмування, наприклад, методом множників Лагранжа.

Розглянемо одноетапну задачу стохастичного програмування, що задана Р-моделлю. Отже, маємо задачу виду:

за умов:

;

,

.

У даній задачі необхідно мінімізувати величину k, що обмежує витрати на виготовлення продукції  , причому така вимога має виконуватися не строго, а із заданим рівнем імовірності —  . Інші обмеження також виконуються з певною імовірністю —    .

Допустимо, що випадкова величина     — нормально розподілена з математичним сподіванням   і кореляційною матрицею  , де . Тоді вираз   буде випадковою величиною, що також нормально розподілена з математичним сподіванням та дисперсією . Отже, (з попередніх викладок) можна записати:

.

При   величина   є угнутою функцією за змінними  . Отже, за зроблених допущень задачі стохастичного програмування

,

,

,

відповідає детермінований еквівалент:

за умов:

.

Остання задача являє собою задачу опуклого програмування. Для її розв’язування можна застосувати теорему Куна—Таккера, або один з інших методів розв’язування задач нелінійного програмування.