23. Параметры (показатели) оценки генеральной совокупности: численность совокупности, предельная ошибка, границы среднего значения признака, доля альтернативного признака.

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак.

Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если заранее известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить (приближенно найти) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение; если есть основания считать, что признак имеет, например, распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр λ, которым это распределение определяется.

Обычно в распоряжении имеются лишь данные выборки, например значения количественного признака x1, x2, . . . , xn, полученные в результате n наблюдений. Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая x1, x2, . . . , xn, как независимые случайные величины X1, X2, . . . , Xn, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения - это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Наиболее сложно определить дисперсию изучаемого признака в генеральной совокупности. До проведения обследования приближенно оценить дисперсию или среднее квадратическое откло­нение можно на следующей основе:

1. исходя из результатов специально организованного пробного обследования;

2. опираясь на данные предыдущих обследований, как выборочных, так и сплошных. Например, используя коэффициент вариации . Следовательно, дисперсия

3. исходя из закона распределения изучаемого признака в гене­ральной совокупности. Если распределение близко к нормаль­ному, то размах вариации R в 6 раз больше среднего квадратического отклонения: R = 6. В таком случае, зная максимальное и минимальное значения признака, можно оценить : =R/6

Показатели	Генеральные параметры
Объем (число единиц) совокупности	N
Среднее значение признака
Доля единиц, обладающих изучаемым признаком	p=M/N M – число единиц, обладающих определенным признаком в ГС
Доля единиц, не обладающих изучаемым признаком	q
Дисперсия количественного признака
Дисперсия доли

Между признаками выборочной совокупности и соответствующими признаками генеральной совокупности, как правило, существует некоторое расхождение, которое называется ошибкой статистического наблюдения:

Ошибки регистрации, или технические ошибки, связаны с недостаточной квалификацией наблюдателей, неточностью подсчетов, несовершенством приборов и т.п.

Под ошибкой репрезентативности понимают расхождение между выборочной характеристикой и разыскиваемой (истинной) характеристикой генеральной совокупности. Здесь возможны систематические ошибки, связанные с нарушением установленных правил отбора, и случайные ошибки, которые объясняются недостаточно равномерным представлением в выборочной совокупности различных категорий единиц генеральной совокупности.

В результате систематической ошибки выборка может оказаться смещенной, т.к. при отборе каждой единицы допускается ошибка, всегда направленная в одну и ту же сторону (например, возраст при анкетировании часто оказывается округлен в меньшую сторону, а стаж работы – в большую). Эта ошибка получила название ошибки смещения. Ее размер может превышать величину случайной ошибки, определить его, как правило, сложно или невозможно. Особенность ошибки смещения состоит в том, что, являясь постоянной частью ошибки репрезентативности, она увеличивается с увеличением объема выборки.

Случайная ошибка с увеличением объема выборки уменьшается. Величину случайной ошибки можно определить.

Для генеральной средней и генеральной доли р предельную ошибку выборки (или точность) для генерального среднего и генеральной доли можно представить в виде

где  - стандартная или средняя ошибка выборки, t – коэффициент доверия, связанный с доверительной вероятностью – вероятностью того, что случайная ошибка репрезентативности на самом деле не превосходит вычисленную предельную ошибку.

В случае большой выборки (n>100) определение предельной ошибки для среднего и доли основано на центральной предельной теореме, вследствие которой среднее и доля при большом числе измерений имеют распределения близкие к нормальному. Поэтому коэффициент доверия t вычисляется по таблицам функции Лапласа из условия .

Границы при заданной дове­рительной вероятности значения изучаемых показателей по генеральной совокупности рассчитываются по формулам:

х = х ± Δ_i – для средних величин;

p = w±A_a — для показателей доли;

X = xN — для абсолютных итогов.