17. Кривые нормального распределения. Распределение Пуассона, биноминальное распределение.

Кривая нормального распределения (КНР) – это теоретическая модель, представляющая собой абсолютно симметричное и гладкое распределение частот. Она имеет форму колокола и одну вершину, а ее концы уходят в бесконечность в обоих направлениях.

Главнейшим свойством КНР является то, что расстояние по абсциссе распределения (горизонтальная ось), измеренная в единицах стандартного отклонения от среднего арифметического распределения, всегда дает одинаковую общую площадь под кривой: между ±1 стандартным отклонением находится 68,26% площади, между ±2 стандартными отклонениями – 95,44% площади, между ±3 стандартными отклонениями – 99,72% площади.

Несмотря на то, что ни одно из эмпирических распределений не имеет формы, которая бы точно отвечала этой идеальной модели, многие из них достаточно близки к ней, что разрешает сделать предположение об их нормальности. В свою очередь, это предположение позволяет использовать КНР и ее свойства для того, чтобы проанализировать соответствующие эмпирические распределения.

Наиболее общим случаем различного рода вероятностных распределений является биномиальное распределение. Воспользуемся его универсальностью для определения наиболее часто встречающихся на практике частных видов распределений.

Пусть имеется некое событие A. Вероятность появления события A равна p, вероятность непоявления события A равна 1 – p, иногда ее обозначают как q. Пусть n — число испытаний, m — частота появления события A в этих n испытаниях.

Известно, что суммарная вероятность всех возможных комбинаций исходов равна единице, то есть:

1 = pⁿ + n · p^{n – 1} · (1 – p) + C_n^{n – 2} · p^{n – 2} · (1 – p)² + … + C_n^m · p^m · (1 – p)^{n – m} + … + (1 – p)ⁿ.

pⁿ — вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет n раз;

n · p^{n – 1} · (1 – p) — вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет(n – 1) раз и не произойдет 1 раз;

C_n^{n – 2} · p^{n – 2} · (1 – p)² — вероятность того, что в n испытаниях событие Aпроизойдет (n – 2) раза и не произойдет 2 раза;

P_m = C_n^m · p^m · (1 – p)^{n – m} — вероятность того, что в n испытаниях событие Aпроизойдет m раз и не произойдет (n – m) раз;

(1 – p)ⁿ — вероятность того, что в n испытаниях событие A не произойдет ни разу;

— число сочетаний из n по m.

Математическое ожидание M биномиального распределения равно:

M = n · p,

где n — число испытаний,

p — вероятность появления события A.

Среднеквадратичное отклонение σ:

σ = sqrt(n · p · (1 – p)).

Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и приp –> 0 (редкие события)).

18. Статистическая совокупность, единица совокупности.

Статистическая совокупность – это множество единиц, в которых проявляется изучаемая закономерность. Например, закономерности подготовки специалистов высшей квалификации можно изучить при исследовании совокупности высших учебных учреждений. Стати­стическая совокупность как объект исследования и соответственно наблюдения, должна быть ограничена во времени и в пространстве. Например, изучается деятельность высших учебных учреждений Мос­квы за период 2000-2008 гг.

Единица совокупности – обособленное явление, которое выступает как частный случай проявления изучаемой закономерности. Едини­цы, входящие в состав одной совокупности, качественно однородны, т. е. обладают общими существенными свойствами и признаками. Так, любое высшее учебное учреждение должно располагать штатом преподавателей, аудиторным фондом, учебными планами и программами, ежегодно осуществлять выпуск молодых специалистов и т. д. В рамках единого качества единицам совокупности свойственны индивидуаль­ные особенности количественного характера, именуемые в статистике вариацией. Например, каждый вуз отличается особым набором фа­культетов и специальностей, своим числом студентов и преподавате­лей.

Единица наблюдения – та единица, признаки которой регистриру­ются в ходе статистического наблюдения. Обычно в качестве единицы наблюдения выступает единица совокупности. При проведении ком­плексных многоцелевых наблюдений могут иметься одновременно несколько единиц наблюдения. Например, при переписи населения основная единица наблюдения – человек, а дополнительная – домо­хозяйство.