3. Простейшие геометрические образы в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского.

В предыдущей главе наряду с основными объектами модели Пуанкаре плоскости Лобачевского были представлены неевклидовы отрезки, лучи, углы, треугольники, рассмотрели, как изображаются параллельные прямые, было также указано, в частности, построение неевклидова серединного перпендикуляра данного отрезка. В этой главе будут рассмотрены другие геометрические образы в данной модели, их построение позволяет глубже уяснить смысл ряда фактов и неевклидовой, и евклидовой геометрий.

1. Общий перпендикуляр двух расходящихся прямых

Любые две расходящиеся прямые a и b плоскости Лобачевского имеют общий перпендикуляр и притом единственный. Для изображения самих расходящихся прямых a и b в модели Пуанкаре H² возможны два случая:

а) одна из таких прямых изображается евклидовым лучом в H²; б) обе расходящиеся прямые изображаются евклидовыми полуокружностями.

В случае а) общим перпендикуляром двух расходящихся прямых a и b является, очевидно, полуокружность c, построение которой ясно из рис 6.

 

рис.6

Перейдем к построению в случае б). Обозначим через B₁, B₂ - концы полуокружности b и рассмотрим полуокружность d с центром B₁ и ортогональную к a.(рис.7)

 

рис.7

Под действием инверсии f относительно d полуокружность a переходит в себя, а полуокружность b - в луч b', ортогональный оси x, с началом в точке B'₂, где B'₂=f(B₂). Используя случай а), строим полуокружность c' с центром в B'₂, ортогональную к a и b'. Тогда полуокружность c=f(c') является, очевидно, искомым общим неевклидовым перпендикуляром к расходящимся прямым a и b.

4.

ЭКВИДИСТАНТА

множества Мв метрическом пространстве R - граница трубчатой окрестности М в R, образованной шарами одинакового радиуса d. Если М - дифференцируемое подмногообразиеM^k в римановом пространстве Vⁿ, то под Э. понимают (в более узком смысле) множество концов равных отрезков, отложенных от точек M^k на геодезических, перпендикулярных к M^k в соответствующих точках. Если Vⁿ- полное, то Э.- образ экспоненциального отображениявекторов постоянной длины dнормального расслоения M^k в Vⁿ. Если Vⁿ- неполное, то Э. существует лишь при достаточно малых d.  Примеры Э. 1) Э. на плоскости Лобачевского (гиперцикл) - ортогональная траектория пучка прямых, перпендикулярных к нек-рой прямой (к базисной прямой, или базе). Э. состоит из двух ветвей, расположенных по разные стороны от базисной прямой и вогнутых в сторону базы. Кривизна Э. постоянна. 2) Э. плоскости в пространстве Лобачевского является поверхность постоянной положительной внешней кривизны.

ВАРИАНТ 5

1. Приведите пример абсолютной геометрии (есть в варианте 3/3вопрос)

2. …………….

, где k — некоторое положительное число.

Из этой формулы следует, что П(х)— монотонно убывающая непрерывная функция. Из этой формулы следует также, что П(х)принимает все значения, лежащие между О и  . Другими словами, любой острый угол является углом параллельности в некоторой точке относительно данной прямой.

Таким образом, в геометрии Лобачевского существует зависимость между угловыми и линейными величинами; в этом существенное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия фигур; в частности, треугольники с соответственно равными углами равны. Еще одна особенность геометрии Лобачевского связана с единицей измерения длин. В геометрии Евклида существуют абсолютные константы угловых величин, например прямой угол или радиан, в то время как линейных абсолютных констант не существует. Для того чтобы длины отрезков выразить числами, необходимо выбрать единицу измерения длин. В качестве такой единицы может быть выбран произвольный отрезок. В противоположность этому в геометрии Лобачевского нет в этом необходимости, так как, имея естественную единицу измерения углов, можно условиться о выборе естественной единицы длин. Например, за единицу длины можно выбрать отрезок, которому соответствует угол параллельности, равный  .

4. «Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида?». Евклидова аксиома о параллельных: Аксиома Лобачевского о параллельных: ВЫВОД: Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.