2. Треугольники и четырехугольники на плоскости лобачевского

Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем, известных читателю из курса средней школы, относится именно к этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пересечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении медиан треугольника в одной точке — вот далеко неполный перечень теорем, которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского.

Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d.

доказательство

Следствие. Сумма углов трегольни- ка непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников.

доказательство

Теорема 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 2d.

доказательство

Теорема 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

доказательство

Выпуклый четырехугольник называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD — двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС — боковыми сторонами.Двупрямоугольник с равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников.

1°. Если ABCD — четырехугольник Саккери с основанием АВ, то  С =  D и каждый из углов С и D острый.

Р ассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра d к отрезку АВ (рис. 2-12). При этом, очевидно, точка А перейдет в точку В, а луч АD — в луч ВС (так как  A =  B = d).B силу равенства AD = ВС точка D перейдет в точку С и, следовательно, угол ADC — в угол BCD. Таким образом,  C =  D.

По теореме 2  А +  В +  С +  D < 4d, поэтому С + D < 2d. Но так как  С =  D, то каждый из этих углов острый.

2°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ AD < ВС,

то  С <  D.

Р ассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра d к отрезку АВ. При этом, очевидно, точка А перейдет в точку В, а точка D — в точку D' луча ВС (рис. 2-13). Так как АD < ВС и AD = BD',то BD' < ВС, поэтому D' — точка отрезка ВС. Четырехугольник ADD'В является четырехугольником Саккери, поэтому по свойству 1°  1 =  2. Но  1 <  ADC, a  2>  DCB ( 2 — внешний угол треугольника CDD').Таким образом,  DCB <   АDC.

3°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ  С <  D, то AD < ВС.

3. 1. Общий перпендикуляр двух расходящихся прямых

Любые две расходящиеся прямые a и b плоскости Лобачевского имеют общий перпендикуляр и притом единственный. Для изображения самих расходящихся прямых a и b в модели Пуанкаре H² возможны два случая:

а) одна из таких прямых изображается евклидовым лучом в H²; б) обе расходящиеся прямые изображаются евклидовыми полуокружностями.

В случае а) общим перпендикуляром двух расходящихся прямых a и b является, очевидно, полуокружность c, построение которой ясно из рис 6.

 

рис.6

Перейдем к построению в случае б). Обозначим через B₁, B₂ - концы полуокружности b и рассмотрим полуокружность d с центром B₁ и ортогональную к a.(рис.7)

 

рис.7

Под действием инверсии f относительно d полуокружность a переходит в себя, а полуокружность b - в луч b', ортогональный оси x, с началом в точке B'₂, где B'₂=f(B₂). Используя случай а), строим полуокружность c' с центром в B'₂, ортогональную к a и b'. Тогда полуокружность c=f(c') является, очевидно, искомым общим неевклидовым перпендикуляром к расходящимся прямым a и b.

ВАРИАНТ 3

1. Николай Иванович Лобачевский (1792 - 1856) – математик, преподаватель, ректор Казанского Императорского университета.

Родился Николай Лобачевский 20 ноября 1793 года в Нижегородской губернии, а в 1800 году переехал в Казань. Образование в биографии Лобачевского было получено в казанской гимназии, которую он окончил в 1807 году. Затем он поступил в Императорский университет Казани.

Николай хорошо учился, специализировался на математике и физике, так что в итоге получил красный диплом магистра по данной специальности. В 1814 году, оставаясь в университете, занял должность адъюнкта, а позже – профессора. Как преподаватель математики, астрономии, физики, Лобачевский высоко ценился в университете. А в 1819 году стал деканом своего физико-математического факультета.

В 1827 году биография Лобачевского стала известна как ректора Казанского университета. Эту должность он занимал до 1846. Так что кроме чтения лекций Николай Иванович решает насущные проблемы учебного заведения. Также Лобачевский занимается математическими теориями, развивает неевклидову геометрию - гиперболическую. В алгебре Лобачевским был разработан способ приближенного решения уравнений. Также им было получено несколько теорем в математическом анализе.

В 1846 году отстранен от должности ректора университета Министерством. Вскоре в биографии Лобачевского наступил сложный период – здоровье ухудшалось, а все состояние было продано из-за долгов. В 1856 году великий математик умирает. В 1895 году создана премия (медаль Лобачевского), позже его именем называют улицы, библиотеки и даже кратер на Луне.

2. ЛОБАЧЕВСКОГО ФУНКЦИЯ

- 1) Угол параллельности в Лобачевского геометрии - функция, выражающая угол a между прямой u₁ (или u₂) (см. рис.) и отрезком ОА, перпендикулярным к прямой а, параллельной u₁(или u₂), через длину l отрезка ОА:

где Л - положительная постоянная, к-рая соответствует масштабу измерения расстоянии.

Л. ф.- непрерывная монотонно убывающая функция, значения к-рой заключены между p/2 и 0:

Л. ф. введена Н. И. Лобачевским в 1826.

Лит.:[1] Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1, М.- Л., 1949; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, С изд., М., 1978.

2) Специальная функция, определяемая для действительного хравенством 

Л. ф. представляется в виде ряда 

Основные соотношения:

Л. <ф. введена Н. И. Лобачевским в 1829.

Лит.:[1] Рыжик И. М., Градштейн И. С., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 3 изд., М.- Л., 1951. А. В. Иванов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985