Тема. Елементи теорії гри в розв’язанні господарських задач. Ігри з природою
Мета. Отримання навичок прийняття і обґрунтування оптимальних рішень за умов невизначеності
Література
Костевич Л.С. Математическое программирование: Информ. технологии оптимальных решений: Учеб. Пособие // Л.С. Костевич / Мн. : Новое знание, 2003. – 424 с. – С. 287-324.
Ульянченко О.В. Дослідження операцій в економіці: Підручник для студентів вузів // О.В. Ульянченко / Харк. нац. аграр. ун-т ім. В.В. Докучаєва. – Харків: Гриф, 2002. – 580 с. – С. 347-381.
Короткі теоретичні відомості
Теорія ігор – це математичний апарат, що розглядає конфліктні ситуації, а також ситуації спільних дій кількох учасників.
Гра являє собою математичну модель реальної конфліктної ситуації, аналіз якої здійснюється за визначеними правилами.
Сторони, які приймають участь у грі (конфлікті) називаються гравцями.
Стратегією гравця називається сукупність правил, що визначають вибір варіанту дій при кожному особистому ході гравця в залежності від ситуації, що склалася в процесі гри.
Стратегія гравця називається оптимальною, якщо вона забезпечує даному гравцеві при багатократному повторенні гри максимально можливий середній виграш або мінімально можливий середній програш, незалежно від поведінки іншого гравця (можуть бути використані й інші критерії оптимальності).
Платіжна функція у грі визначає для кожної сукупності вибраних гравцями стратегій виграш кожної зі сторін.
Матрична гра двох осіб
Найчастіше розглядається гра з двома гравцями, в якій виграш однієї сторони дорівнює програшу іншої, а сума виграшів обох сторін дорівнює нулю, що в теорії ігор називають грою двох осіб з нульовою сумою.
Парну гру з нульовою сумою зручно досліджувати, якщо вона описана у вигляді т.з. платіжної матриці (нормальний спосіб описання ігор).
Таблиця 1
П II латіжна матриця
I |
1 |
… |
|
… |
|
1 |
|
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
… |
|
… |
|
Принцип мінімакса і максиміна
Найбільший гарантований виграш першого гравця визначається так:
Оптимальною стратегією першого гравця буде та, для якої виконується умова , тобто стратегія, за якої нижній гарантований рівень досягає найбільшого значення за наявної матриці виграшів.
Другий гравець, враховуючи, що гра є з нульовою сумою, прагне, щоб його програш був якнайменший, отже, його оптимальною стратегією буде вибір такого стовпця матриці платежів, для якого величина платежу буде найменшою серед усіх найбільших платежів, яких прагне досягти перший гравець.
Оптимальна стратегія першого гравця називається максимінною. За такої стратегії його виграш при будь-якій протидії партнера буде не менше величини , яку називають нижньою ціною гри. Оптимальна стратегія другого гравця називається мінімаксною, а величина його програшу за такої стратегії визначається величиною – верхньою ціною гри.
У випадку, коли величини нижньої та верхньої ціни гри співпадають, таку величину називають ціною гри; за таких умов величина виграшу першого гравця дорівнює величині програшу другого гравця. Чистою стратегією гравця називають вибір мінімаксної стратегії в матриці платежів.
Отже, коли нижня та верхня границі гри співпадають, то задача мас розв’язок у чистих стратегіях, гра називається грою з сідловою точкою. Сідловою точкою називають пару чистих стратегій, за яких виграш дорівнює ціні гри.
Спрощення гри
Якщо платіжна матриця гри не містить сідлової точки, то задача визначення оптимальної змішаної стратегії тим складніше, чим більша розмірність матриці. Тому для ігор із платіжними матрицями великої розмірності відшукання розв’язку можна дещо спростити, якщо зменшити їхню розмірність шляхом викреслювання дублюючих і свідомо невигідних стратегій, а також заміни деяких груп чистих стратегій змішаними.
Якщо
в матриці
гри всі елементи рядка (стовпця) дорівнюють
відповідним елементам іншого рядка
(стовпця), то відповідні рядкам (стовпцям)
стратегії називаються дублюючими.
Якщо в матриці гри всі елементи деякого рядка, що визначає i-ту стратегію гравця A, не більше (менше або рівні) відповідних елементів іншого рядка, то i-та стратегія називається свідомо невигідною.
Якщо в матриці гри всі елементи деякого стовпця, що визначає j-ту стратегію гравця B, не менше (більше або рівні) відповідних елементів іншого стовпця, то j-та стратегія називається свідомо невигідною.
При
розв’язанні задач скінченних ігор
розмірності
доцільно дотримуватися такої стратегії:
Гра з природою
Якщо процес, стосовно якого необхідно прийняти рішення, має відбуватися за умов певної невизначеності, але без активної цілеспрямованої протидії та певної байдужості як до умов, так і до наслідків процесу, – це так звана природна невизначеність.
Постановка задачі прийняття рішення в умовах невизначеності.
Нехай
гравцю А
необхідно виконати операцію в умовах
невизначеності, відносно станів яких
можна зробити n
припущень. Ці припущення
розглядатимемо як стратегії природи.
Гравець А
може скористатися m
можливими стратегіями
.
Виграші
гравця А
при кожній парі стратегій
і
припускаються відомими і задані платіжною
матрицею (матрицею виграшів)
(
,
).
Задача полягає у визначенні такої
стратегії (чистої чи змішаної), яка при
її застосуванні забезпечила б гравцю
А
найбільший виграш.
При розв’язанні задач ігор з природою розмірності доцільно дотримуватися такої стратегії:
Ризиком
,
якщо користуватися чистою стратегією
за
стану природи, називають різницю між
максимальним виграшем
,
який можна було б одержати, якби природа
достовірно була в стані
та виграшем
,
який можна одержати, використовуючи
стратегію
,
та приймаючи
за можливий стан природи. Таким чином,
елементи
матриці ризиків
обчислюються за формулою:
(
– максимально можливий виграш за
стану природи (тобто максимальний
елемент j-го
стовпця матриці платежів
)).
Критерії прийняття рішень в іграх з природою без експерименту
Підходи до розв’язку задач ігор із природою, основані на застосуванні об’єктивно обчислених ймовірностей станів природи.
Припускається, що ймовірності станів природи відомі:
Прийнявши
як середнє значення (математичне
очікування) виграшу, що гравець А
намагається максимізувати, маємо
У якості оптимальної стратегії вибирається та зі стратегій , яка відповідає максимальному середньому значенню виграшу:
Оптимальну стратегію при відомих ймовірностях станів природи можна знайти, використовуючи показник ризику. Для цього необхідно визначити середнє значення ризику:
У якості оптимальної стратегії в цьому випадку вибирається та, яка забезпечує мінімальне середнє значення ризику:
Доведено, що застосування критеріїв середнього виграшу та середнього ризику для тих самих вихідних даних приводить до того самого результату.
Тобто, та ж сама стратегія, яка забезпечує максимальний середній виграш, одночасно мінімізує і середній ризик.