43. Числовые характеристики случайных величин

Для практической оценки дифференциальной функции распределения плотностей вероятности разделяют на три группы: точечные, интервальные и характеристики, связанные со всей областью существования функции.

Точечные характеристики отражают значение функции плотностей вероятностей относительно некоторых точек на оси х. К ним относятся: мода, медиана и интенсивность.

Мода - такое значение х (случайной величины), которому соответствует максимум функции плотности. Если f(x₁)=max, то х₁=М_о(х).Если функция f(x) имеет 2 максимума, то такой закон называют 2- модальным, три максима-3-модальным.

Медиана - Me(x)=x₁ , если Вер { x<x₁ }= Вер { x>x₁ }=0,5

Если число деталей чётное, то медианой считают среднее арифметическое между двумя средними числами.

Пример: Пусть в выборке 6 размеров в мм: 14,90; 14,92: 14,93: 14,95; 14,98; 14,97, расположенных по степени возрастания

Пример: : Пусть в выборке 5 деталей с размерами: 14,93; 14,92; 14,97; 14,92; 14,98. Расположим ряд по степени возрастания 14,92; 14,92; 14,93; 14,97; 14,98, тогда .

Интенсивность.

К интервальным характеристикам относятся:

1. Вероятность попадания случайной величины в некоторый фиксированный интервал значений

при ;

при .

Это следует из того, что .

2. Границы поля рассеяния можно выразить квантилями. Интервальная оценка определяется концами интервала. К характеристикам, охватывающим всю область существования функции, относятся начальный и центральный моменты го порядка.

Начальный момент го порядка: .

Начальный момент первого порядка (математическое ожидание) характеризует положение случайной величины на осях:

Центральный момент го порядка: .

Второй центральный момент: .

характеризует степень рассеяния случайной величины. Для характеристики рассеяния пользуются средним квадратическим отклонением:

.

Например, пусть дифференциальная функция нормального распределения задана кривой Гаусса: .

Здесь

Если - нормированная нормальная величина, причём , то

и .

Кривые и отличаются смещением без изменения формы в положительном направлении оси на величину , т.е. изменение не изменяет формы кривой Гаусса. Если , то кривая смещается в положительном направлении оси ; если

- в обратном направлении. При :

,

т.е. при возрастании максимальное значение функции убывает, а сама кривая становится более пологой (сжимается к оси ).

Рис. 43.1. Влияние значений среднеквадратических рассеяния случайной величины вокруг на изменения формы кривой рассеяния.

Рис. 43.2. Характерные точки кривой нормального распределения

;

;

.

При - имеет нормированный вид.

При любых значениях и : .

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит 33 - очень мала. Она равна 0,0027, т.е. 0,27% случаев это может произойти.

Для эмпирического рассеяния (дискретного) характеристика положения центра рассеяния даётся в виде средней арифметической, взвешенной по частям значений величины.

С алгебраической стороны выражение средней арифметической аналогично математическому описанию для теоретического распределения величины .

Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. На расстоянии от положения вершины кривой оказывается 99,73 % площади, заключённой между всей кривой нормального распределения, поэтому составляющая 0,27 % практического значения не имеет.

Фактическое поле рассеяния размеров заготовок . Под влиянием систематической и случайной погрешностей вершина кривой распределения может смещаться по отношению к середине поля рассеяния в ту или иную сторону, а форма кривой может изменяться.

Закон нормального распределения (закон Гаусса) в большинстве случаев оказывается справедлив при механической обработке заготовок с точностью 8, 9, 10(и грубее) квалитетов.