Метод Дэвиса и Патнема.

По этому методу задача формулируется также в виде формулы F₁&F₂&…&F_n&B. Формулируется несколько правил, которые позволяют ответить на вопрос: «Выводима ли формула?», «Выполнима ли формула?» Формула невыводима, если она выполнима (существует такая интерпретация, при которой формула истинна).

Правила:

1)Правило тавтологии

Исходное рассуждение приводится к КНФ и представляет собой множество дизъюнктов S. Вычеркиваются все тавтологические дизъюнкты: (aaистина)

S^=S^

(S^выполнимо и (S^выполнимо или невы-

вывод опровергается) полнимо, когда Sвыпол

нимо или невыполнимо)

2)Правило однолитерных дизъюнктов:

а)можно вычеркнуть все однолитерные дизъюнкты, т.к. выполнимость зависит от истинности (однолитерный дизъюнкт). И оставшееся множествоS^ выполнимо (невыполнимо) тогда и только тогда, когдаSвыполнимо (невыполнимо)

S^= S^

(S выполнимо) (S^~S)

б) если присутствуют однолитерные дизъюнктыL, и есть ещё один дизъюнкт, который содержитL, то (LA) тоже вычеркивается;

L&(LA)=L- вычёркивается

S’=S’

S– выполнимо,S’~S

В – опровергается

в) если есть однолитерные дизъюнкты Lи если найдем дизъюнкту, которая содержитL(LA), то в дизъюнктах можно вычеркнутьL

L&(LA)~L&(LA)A

A=S’= A=S’

Множество Sневы-S’~S

полнимо

Пример:

ABABABправилоABправило

AC- гипотезыACAC однолитерныхAоднолитерных

BDBDBDдизъюнктовBдизъюнктов

CB- доказать(CD)CC,D

отрицание выводаD

Доказано, что CD- теорема.

Пример:

pqpqправилоpэто является опровержением

pqr pqrоднолитерныхprrтеоремы

qqдизъюнктов

3) Правило Дэвиса-Патнема

Правило чистых литер:

Литера L– чистая, если в множестве дизъюнктовSне существует ни одной дизъюнкты с отрицаниемL(L). По правилу вычеркиваются все дизъюнкты, содержащиеL

(LA₁)&(LA₂)

S’=S’\(LS)

S’= S’ 

Sвыполнимо приL=S’~S

Пример:

PQPQPQ правило

PQPQPQ чистых =>(S– выполнимо,

RQRQRQлитерR&Q

R&Q(R&Q)RQ P,R

4) Правило расщепления

Множество дизъюнктов S– непустое и не применимы правила 1),2),3).

S=(LA₁)&(LA₂)&…(LB₁)&(LB₂)&…&R

R–не содержит ниLи ниL

S₁={A₁,A₂…} – встречаются сL

S₂={B₁,B₂…} – встречаются сL

Утверждается, что S– выполнимо (невыполнимо) тогда и только тогда, когдаS₁S₂выполнимо (невыполнимо). Можем записать

S=(LS₁)&(LS₂)&R

(LA₁)&(LA₂)=LA₁&A₂

произвольная интерпретацияI

LL

Выполнение зависит отS₂S₁

выполняется (не выполняется) S₁S₂

Не выполняется (), еслиS₁S₂. ДизъюнкцияS₁S₂должна быть преобразована в конъюнктивную форму:

(S₁S₂)  A₁&A₂&…&A_nB₁&B₂&…&B_n=(A₁B₁)&(A₂B₂)&…&(A_nB_n)

содержитn*mдизъюнктов

Алгоритм логического вывода по методу Дэвиса и Патнема

1.Исключение тавтологий

S’=S’

S выполнимо

2.Однолитерные дизъюнкты l

да нет

исключение3.исключение дизъюнктов

S’=S’\L,(LS)с чистой литерой L

L=”И”S’=S’\(LS’)

S’=S’S’=S’

Sвыполнимо вычеркиваютсяLSвыполнимо4. правило

В (LS)расщепления и

преобразования

C= ,CS’ S’  S=S₁S₂

S невыполнимо

Алгоритм конечный, хотя количество промежуточных дизъюнктов может возрастать.

Пример:

PQ1)PQ

PQ2)PQРасщепление поP

QT 3)QT

Q&T 4)QT

5)S₁=Q

S₂=Q

R=(QT)&(QT)

S=S₁S₂=QQ - тавтология

6)QTT– чистая литера

QT

7) (Sвыполнимо)

Теорема 4:ПустьL₁,L₂…,L_k- последовательность вычеркнутых литер по правилам 2),3) иL_k- последняя вычеркнутая литера, после которойS’==>S– выполнима. Тогда условиеL₁&L₂&…&L_k- это условие выполнимости и ,соответственно, условие(L₁&L₂&…&L_k) – условие невыполнимости, которое можно добавить в множество гипотез для коррекции вывода.

Правило резолюций (предложено Робинсом)

Для любых дизъюнктов C₁иC₂, для которых существует литераLвC_­1и контрарная литераLв C_­2­ вычеркиваются литерыLиLи формируется дизъюнкция из оставшихся дизъюнктовC_­1­ иC_­2­.

C_­1­=La

C_­2­=LbC=ab

Построенный дизъюнкт С называется резольвентойС_­1­ и С_­2­.

Теорема 5: Для дизъюнктов С_­1­ и С_­2­ с контрарными литерамиC_­1­=LaиC_­2­=LbрезольвентаC=abявляется логическим следствиемC_­1­ иC_­2­.

Пример:

LaLa1)La1)L=>Sневыполнимо и доказана выводимость

Lb Lb 2)Lb 2)L ab

ab (ab) 3)a

4)b