1.2 Алгебра логики

Определение. Две формулы А(x₁,…x_n) и В(x₁,…x_n), гдеx₁,…x_n– атомы, простые выражения, называютсяравносильными (тождественно равными, «»), если при любых интерпретациях значения истинности совпадают. В этом случае мы пишем

А(x₁,…x_n)В(x₁,…x_n).

Утверждение: А тождественно равно В, если А~В – тавтология.

Законы логики формулируются в виде тождеств.

Законы логики:

1. закон коммутативности

a&b=b&a

ab=ba

2. закон ассоциативности

a&(b&c)=(a&b)&c

a(bc)=(ab)c

3. идемпотентность

aa=a a&a=a

4. дистрибутивность

a&(bc)=(a&b)(a&c)

a(b&c)=(ab)&(ac)

5. двойное отрицание

(a)=a

6. правила де Моргана

(ab)=a&b

(a&b)=ab

7. замена импликации

ab=ab

8. закон контрапозиции

(ab)=(ba)

(ac)&(bc)=(ab)c

(ab)&(ac)=a(b&c)

10. метод доказательства необходимости и достаточности

a~b=(ab)&(ba)

11)законы сокращения

a(a&b)=ab

a&(ab)=a&b

Теорема 1: Пусть С_А– формула, в которой выделена формула А, в результате замены формулы А на формулу В получим формулу С_В, тогда:

1. С_В– тавтология, если С_А– тавтология;

2. С_А=С_В, если А=В

Обозначим множество всех высказываний S={a,b,c…},очевидно, что отрицание этих высказываний тоже входит в это множество. Дополним множество двумя константами: «И»(1) и «Л»(0).

На множестве Sопределены операции &,, которые удовлетворяют перечисленным ранее законам. На этом множестве справедливы также законы нулевого, единичного и дополнительного элементов:

0а=а 1а=1 аа=1

0&а=0 1&а=а а&а=0

Алгебра логики, удовлетворяющая этим свойствам, называется булевой алгеброй.

Примеры:

1).Рассуждение 1: Студент пойдет домой или останется в институте.

Рассуждение 2: Студент не останется в институте, следовательно, он пойдет домой.

2). Рассуждение 1: Студент пойдет домой или останется в институте.

Рассуждение 2: Студент останется в институте, следовательно, он не пойдет домой.

(ab)&ba

-не тавтология

Используется неправильная связка(во втором примере, первом предложении), надо: студент либо останется в институте, либо пойдет домой, тогда:

(А+В)&ВА

-тавтология.

Определение.Литера– это атом или его отрицание.

Определение. ФормулаFнаходится вконъюнктивной нормальной форме (КНФ), гдеF_i– дизъюнкция литер – дизъюнктер.

F=F₁&F₂&…&F_k

Пример: F=(ab)&(abc)

Определение. ФормулаFпредставлена вдизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), еслиF_i– конъюнкция литер – конъюнктер, терм.

F=F₁  F₂  F_k

Пример: F=(a&b)(a&b&c)

Любая алгебраическая логическая формула алгебраическими преобразованиями может быть приведена к нормальным формам.

Алгоритм преобразования:

1. заменить все связки ,~формулами, содержащими,,&;

2. применяя правило де Моргана, привести все инверсии к атомам;

3. исключить промежуточные скобки с применением дистрибутивных законов.

Пример: ( a  ( b  c ))b

( a(b  c )) b

(a b  c) b

a  b c b

a c b

(ab)(cb) - КНФ