Методы правильных рассуждений:

1).Закон контрапозиции (доказательство от противного):

(pq)(qp) - тождество

предполагается что не q, доказывается, что неpприходим к противоречию. Доказательство, что еслиq, тоpпротиворечие

Если p– ложно, тоp– истина.

(pq)=(qp) – тавтология

2).Закон косвенного доказательства:

(pq)&(pq)p

q,q– противоречие, следовательно,p– истина.

3).Доказательство разбором случаев:

(pq)&(pr)&(qr)r:

Нужно доказать r

Разбираются возможные случаи: доказывается, что prиqr. Отсюда следует, чтоr– истина.

4).Доказательство цепочкой импликаций (свойство транзитивности импликаций):

(pq)&(qr)(pr)

Требуется доказать, что (pr). Выбирается промежуточное утверждениеqи последовательно доказывается (pq), потом (qr). Затем вывод (pr).

1.3 Исчисление высказываний – формальная аксиоматическая теория.

Множество высказываний в некоторой области образует предметную область теории. Меньшая часть этих высказываний считается истинной или доказуемой.

В математической теории истинные высказывания называются доказуемыми или теоремами. Теоремы выводятся из некоторых фиксированных заранее высказываний, которые называются аксиомами.

Определение.Формальное доказательство– последовательность высказываний или теорем, каждая из которых либо аксиома, либо подстановка в аксиому, либо выводится логически по правилам вывода. Последнее высказывание и есть теорема.

Логика высказываний является аксиоматической теорией. Теоремами являются тавтологии.

Множество первичных аксиом называют схемами аксиом– минимальное подмножество аксиом теории, из которого следуют все остальные тавтологии.

1.Схема аксиом Гильберта и Анкермана

А1).ААА;

А2).А(АВ);

А3).(АВ)(ВА);

А4)(АВ)(САСВ).

Можно подставлять вместо символов любые формулы, но формулы остаются тавтологиями.

Пример:

А2)ААВ (АВ)(АВ)(СD)

А3) ААА

2.Схема аксиом Чёрча.

А1)(p(qr))((pq)(pr));

А2)p(qp);

А3)(pq)(qp).

Определение.Логическая формула В является логическим следствием формулы А

(АВ), если для любой интерпретацииIзначение В – «истина» всякий раз, когда значение А – «истина».

Из определения следует, что В является следствием А тогда и только тогда, когда АВ – тавтология.

A(I)B(I)1

Теорема 1:Если А – тавтология и АВ – тавтология, то В – тавтология.

Обобщение тавтологии в виде логического правила вывода

A&(AB)BА,АВ(если А – тавтология и АВ – тавто

МП-правило (moduspenuus) В логия, то В – тавтология).

Если формула В – теорема логики высказываний, т.е. следует из аксиом, то это обозначается «В».

Теорема 2:Если в вычислении высказываний А выводимо, то А – тавтология.

Утверждение о полноте теории.Если формула А – тавтология, то она является теоремой исчисления высказываний.

Утверждение о непротиворечивости.Не существует формула А такой, что А иА являются теоремами.

Следствие:Существуют формулы, которые не являются тавтологиями. Если А – тавтология, тоА – не тавтология (противоречивость).

Пример:Нужно доказатьАА.

Воспользуемся схемой аксиом Гильберта и Анкермана. Вывод – цепочка формул, где каждая формула или аксиома, или применение аксиомы или формула, полученная МП-правилом. Последняя формула этого вывода – теорема.

1. ААА (А1);

2. (АА)(А(АА)АА) (из А4: С=А, А=АА, В=А);

3. А(АА)АА (МП: (1,2)3);

4. (А(АА))(АА) (тождественная замена дизъюнкции импликацией);

5. ААА (А2: ВА);

6. АА (МП: (4,5)6);

7. АА (замена импликации на дизъюнкцию);

8. АААА (А3: В=А, А=А);

9. АА(МП: (7,8)9).

Метод вывода с использованием аксиом неэффективен – направленная стратегия применения аксиом. Само применение основано на интуиции.

Тьюринг и Чёрч доказали, что аксиоматическая система не имеет разрешающей алгоритмической процедуры.