8. Метод Вонга

Близким к методу резолюций является метод Вонга, в котором тоже исполь­зуется сконструированная конъюнктивно-дизъюнктивная нормальная форма представления исходной клаузы, а аксиому порядка заменяет клауза Вонга.

X, L => X; R ,

здесь X пробегает некоторые буквы, входящие в клаузу, a L и R — определенные комбинации дизъюнктов и конъюнктов.

Конструктивная процедура доказательства сводится к последовательному разбиению дизъюнктов или конъюнктов таким образом, чтобы слева и справа от метаимпликации появилась одна и та же буква X. Если в результате такого раз­биения все конечные клаузы приобретают вид клаузы Вонга, то и исходная клау­за была составлена верно. Разберем метод Вонга на примере доказательства справедливости правила отделения:

А, А -> В => В или A, -A v В => В .

Здесь имеется только один дизъюнкт, который можно подвергнуть разбиению. После его разбиения получим две новых клаузы:

А, -А => В и А, В => В .

Вторая клауза удовлетворяет и аксиоме порядка и клаузе Вонга. В качестве X в ней выступает B, a L=A и R=0. Первая же клауза тоже будет удовлетворять необходи­мым требованиям, но только после того, как терм -А из левой части клаузы с противоположным знаком перенести в правую часть. Тогда будем иметь:

А => А; В

где X = A, L = 1 и R = В .

При большом числе букв в исходной клаузе прибегают к специальной нумерации производных клауз чтобы не запутаться. Пусть требуется установить справедли­вость следующей клаузы:

X v Y, (X -> Y) v U, Z -> (Y -> W) => (W -> X) -> (Z -> X).

Приведем ее в соответствующую конъюнктивно-дизъюнктивную нормаль­ную форму:

X v Y, -X v Y v U, -Z v -Y v W => W & -X; -Z; X .

Далее произведем разбиение первого дизъюнкта, в результате получим две производные клаузы:

1. X, -X v Y v U, -Z v –Y v W => W & -X; -Z; X

2. Y, -X v Y v U, -Z v –Y v W => W & -X; -Z; X

Клауза (1) отбрасывается, так как она удовлетворяет клаузе Вонга. Разбивая сле­дующий дизъюнкт клаузы (2), получаем еще три новых клаузы:

2.1. Y, -X, -Z v -Y v W => W & -X; -Z; X

2.2. Y, Y, -Z v -Y v W => W & -X; -Z; X

2.3. Y, U, -Z v -Y v W => W & -X; -Z; X

Клаузы (2. 1) и (2. 2) сводятся к одной клаузе —

1. Y, -Z v -Y v W => W & -X; -Z; X

Произведем ее разбиение:

2.1.1. Y, -Z => W & -X; -Z; X

2.1.2. Y, Y => W & -X; -Z; X

2.1.3. Y, W => W & -X; -Z; X

Первые две клаузы удовлетворяют клаузе Вонга. У клаузы (2.1.3) нужно разбивать конъюнкт:

2.1.3.1. Y, W => W; -Z; X

2.1.3.2. Y, W => -X; -Z; X

Теперь обе клаузы имеют вид клаузы Вонга.

Но у нас осталась еще ветвь (2.3). Она отличается от рассмотренной ветви (наличием непарного терма U, который, однако, не может повлиять на конечный результат, т.е. разбиение клаузы (2.3) практически полностью совпадает с разбиением клаузы (2.1). Следовательно, исходная клауза была записана верно.

9. Метод натурального исчисления

Недостатком метода Вонга, как и метода резолюций, является то, что исходная клауза обязательно должна иметь нормальную дизъюнктивную или конъктивную форму. Этот недостаток преодолен в методе натурального исчисления, к которому мы переходим.

Доказательный вывод в натуральном исчислении строится как упорядоченная цепь преобразований, связанных с удалением или введением логических связок на основе следующих десяти правил:

№ пп	Формула правила	Название правила
	(=> А) & (=> В) // => А & В	введение конъюнкции (ВК)
	=> А & В // => А	удаление конъюнкции (УК)
	В // => А -> В А => В // => А -> В	введение импликации (ВИ)
	(=>А) & (=> А -> В) // => В, => А -> В // А=> В	удаление импликации (УИ)
	=> А // => A v В	введение дизъюнкции (ВД)
	(=> A v В) & (А => С) & (В => С) // => С	удаление дизъюнкции (УД)
	А, В => 0 // А => -В	введение отрицания (ВО)
	(А => -В) & (А => В) // А => 0	удаление отрицания (УО)
	(А => В) & (В => А) // => А ~ В	введение эквивалентности (ВЭ)
	=> А ~ В // (А => В) & (В => А)	удаление эквивалентности (УЭ)

Замечание. Эти правила надо понимать так: если слева от символа « // » стоят истинные клаузы, то справа от символа « // » тоже будут стоять истинные клаузы. Например, первое правило введения конъюнкции можно прочитать следующим образом: если высказывания А и В (связка «и» передается знаком « & ») порознь истинные (о чем говорят рядом стоящие с этими буквами символы метаимшшкации «=>»), то будет истинной и их конъюнкция А & В. При этом надо помнить, что во всех десяти правилах перед символом метаимпликации « => » может стоять любой пе­речень посылок Р. Так, десятое правило может выглядеть следующим образом:

Р => А ~ В // (Р, А => В) & (Р, В => А).

Кроме перечисленных десяти правил, имеется еще одно — базовое правило (БП), которое сначала сформулируем словами:

во-первых, любая посылка мо­жет выступать в роли следствия,

т.е.

А, В, С => А , А, В, С => В и А, В, С => С

будут всегда истинными и не требуют доказательства, т.к. удовлетворяют аксиоме порядка,

во-вторых, в перечень посылок истинной клаузы всегда можно добавить новые посылки, т.е. если клауза

А, В, С => X

верна, то будут истинными и все клаузы, построенные на ее основе —

А, В, С, D => X , А, В, С, ... => X .

В обобщенной форме базовое правило можно записать так:

Р => X // Р, Y => X ,

где X — любая посылка из Р, a Y — произвольная посылка.

Действенность метода натурального исчисления продемонстрируем на при­мере следующей тавтологии:

1 => (А -> В) -> ((А -> -В) -> -А).

Доказательство:

№ пп	Выводы	Почему
	А, А -> В => В	УИ
	А, А -> -В => -В	УИ
	А, А -> В, А -> -В => В	1, БП
	А, А -> -В, А -> В => -В	2, БП
	А, А -> В, А -> -В => 0	3, 4, УО
	А -> В, А -> -В => -А	5, ВО
	А -> В => (А -> -В) -> -А	6, ВИ
	1 => (А -> В) -> ((А -> -В) -> -А)	7, ВИ

Справа в круглых скобках указан номер строки, из которой получена данная клауза, а также начальные буквы используемого правила. Приведем доказатель­ство еще одной клаузы:

1 => (А -> В) -> ((С -> D) -> ((А v С) -> (В v D))) .

Доказательство:

№ пп	Выводы	Почему
	А -> В => (С -> D) -> ((A v С) -> (В v D))	УИ
	A -> B, C -> D => (A v C) -> (B v D)	1, УИ
	А -> В, С -> D, A v С => В v D	2, УИ
	Р1, Р2, Р3 => В v D	3
	Р => А -> В	P1, БП
	Р, А => В	5, УИ
	P, A => B v D	6, ВД
	Р => С -> D	Р2, БП
	Р, С => D	8, УИ
	Р, С => D v В	9, ВД
	P => A v C	Р3, БП
	P => B v D	7, 10, 11, УД