1. Найти площадь треугольника.

Даны три точки в пространстве:

C

Н

айти площадь

S

Н

A

B

айдем вектора , являющиеся

сторонами треугольника ABC.

Вектор – направленный отрезок в пространстве.

Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты его начала.

Площадь треугольника равно ½ площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равняется произведению длин двух сторон у синуса угла между ними: S .

Векторным произведением , является вектор , такой что выполняются три условия:

1. Длина вектора ;

2. – ортогонален векторам ;

3. образует с векторами правую тройку.

Вектора образуют правую тройку если переход от вектора к вектору происходит против часовой стрелки ( ):

Следовательно площадь треугольника равна ½ длины вектора .

Чтобы найти векторное произведение , составим и найдем определитель вида:

Тогда, , коэффициенты при векторах будут координатами вектора =

Найдем длину вектора . Длина вектора это число полученное из квадратного корня суммы квадратов координат вектора:

Тогда

Ответ:

2. С помощью скалярного произведения доказать, что вектор полученный от векторного произведения, перпендикулярен векторам и .

Из предыдущей задачи следует, что вектора не нулевые. По определению скалярного произведения и из теоремы следует:

, где sin а – синус угла между векторами

Значит sina равен нулю, тогда угол альфа равен 90 градусов, ч. и т.д. вектора ортогональны. Аналогичное доказательство для векторов .

2. Определить компланарность векторов , какую тройку векторов образуют (правая, левая).

Д

аны три вектора

Из следствия теоремы смешанного произведения векторов –три вектора копланарны, если определитель составленный из их координат равняется нулю.

Векторы компланарны и они составляют правую тройку, т.к. левая тройка получается при отрицательных значениях (переход векторов по часовой стрелке).

1. Задана прямая l и точка м .Требуется : вычислить расстояние q(m,l) от точки до прямой;

Расстояние от точки до прямой , есть перпендикуляр опущенный из данной точки на прямую.

Перейдем от уравнения прямой в общем виде:

К нормированному уравнению этой же прямой. Для этого нужно найти нормирующий множитель по формуле:

,где A и B,коэффициент при x и y,а знак выбирается противоположный знаку переменной 'C' в уравнении прямой в общем виде.

Умножаем уравнение прямой в общем виде на нормирующий множитель в нашем уравнении переменная ‘C’ со знаком минус, значит t будет с плюсом).

Для нахождения расстояния между прямой и точкой , подставим в нормированное уравнение прямой вместо x и y, координаты точки .

Мы взяли модуль расстояния, т.к. оно не может быть отрицательным.

Ответ: .