2.4. Спектральная плотность мощности.

Спектральные коэффициенты Эйнштейна

Рассмотренные нами коэффициенты Эйнштейна позволяют определять мощность, излучаемую или поглощаемую во всем спектральном интервале данного перехода. В этом смысле их можно назвать интегральными. Мощность же спонтанного излучения в пределах спектрального интервала перехода (ширины линии излучения) распределена неравномерно и является функцией частоты (см. рис. 7). Следовательно, его вероятность зависит от частоты и имеет некоторую спектральную плотность:

, (43)

где - частотно-зависимая функция, называемаяформ-фактором.

Нетрудно догадаться, что эта функция должна совпадать с контуром линии излучения.

Из условия вытекает требование нормировки форм-фактора:

. (44)

Поскольку вероятности спонтанного и вынужденного излучений связаны друг с другом, вероятность вынужденного излучения также частотно-зависима и имеет спектральную плотность:

. (45)

При этом: . (46)

Таким образом, вероятности позволяют определять спектральную плотность мощности, излучаемую или поглощаемую на данном переходе на той или иной его частоте:

; (47)

. (49)

Это необходимо при рассмотрении процессов, происходящих в квантовых усилителях и генераторах, поскольку, как уже отмечалось, ширина их линии излучения гораздо уже ширины спектральной линии атомного перехода и, следовательно, приходится рассматривать взаимодействие излучения с частицами в условиях, где спектральная ширина проходящего излучения гораздо меньше, чем ширина спектральных линий атомов.

В отличие от коэффициентов Эйнштейна , вероятностиопределяют вероятности соответствующих процессов в единичном спектральном интервале (спектральные плотности вероятности).

В качестве примеров приведем вид нормированных в соответствии с условием (44) функций для случаев однородно уширенной линии (лоренцевский контур) и неоднородно уширенной линии (допплеровский контур):

(50)

. (51)

Если считать, что с атомами взаимодействует монохроматическое излучение, которое можно представить как где- объемная плотность этого излучения, а- пинцетная функция Дирака, интеграл (46) легко берется и равен:

(52)

Отсюда видно, что сокращение времени жизни, приводящее к появлению конечной , уменьшает вероятность вынужденных переходов, вызванных монохроматическим полем излучения обратно пропорционально ширине линии.

Часто для определения спектральной плотности мощности оптических процессов используют несколько другую запись:

(53)

(54)

(55)

Очевидно, что при такой записи выражений коэффициенты должны быть функциями частоты и их частотная зависимость должна быть такой же, как и для контура соответствующей линии. Эти коэффициенты называютсяспектральными коэффициентами Эйнштейна. Они, в отличие от интегральных, определяют вероятности соответствующих оптических переходов в единичном спектральном интервале. Их можно представить в виде:

(56)

(57)

(58)

где - контур линии.

Интегралы от выражений (53)...(55) по всему частотному интервалу перехода должны быть равны интегральным мощностям соответствующих процессов, определяемых через интегральные коэффициенты Эйнштейна:

(59)

(60)

(61)

Отсюда получаем следующие соотношения между спектральными и интегральными коэффициентами Эйнштейна:

, (62)

, (63)

. (64)

При этом используют следующую нормировку функции , входящей в выражения (56)…(58) для спектральных коэффициентов Эйнштейна:

. (65)

При такой нормировке контура линии коэффициенты имеют смысл спектральной плотности вероятности на центральной частоте перехода.

В качестве примера приведем вид нормированных таким образом функций для однородно уширенной линиии для допплеровского контура:

(66)

(67)

Заметим, что между спектральными коэффициентами Эйнштейна существуют те же соотношения, что и между интегральными коэффициентами:

(68)

(69)

Основываясь на изложенных выше сведениях, можно перейти к рассмотрению вопросов, связанных с выявлением условий, при которых возможно усиление излучения, проходящего через среду, а также связанных с генерацией лазерного излучения.

Контрольные вопросы

1. Дайте определения следующих понятий: оптические и неоптические переходы, вероятность перехода, полная вероятность перехода, время жизни уровня, населенность уровня, скорость переходов.

2. Что такое кинетические уравнения и для чего они могут быть использованы?

3. Назовите виды оптических переходов. Чем задается вероятность оптических переходов?

4. Как определяется мощность, излучаемая и поглощаемая при оптических переходах?

5. Чем определяется минимальная ширина линии излучения? Как она называется?

6. Что такое контур линии и каков он в случае излучения естественной линии?

7. Что такое однородное и неоднородное уширение линий?

8. Поясните смысл времен поперечной и продольной релаксаций. Как связана ширина линии с временами релаксаций? Какое из времен релаксаций определяет ширину линии?

9. Чем отличаются спектральные коэффициенты Эйнштейна от интегральных? Как они используются?