Задание 5.

Сравнение результатов решения по трем способам.

В методе северо-западного угла общая урожайность со всех участков севооборота составила 78070 т, в методе аппроксимации – 108770 т и в методе наилучших оценок – 102250 т. Мы можем сделать вывод, что на начальном этапе составления опорного базисного плана метод аппроксимации эффективнее метода северо-западного угла и метода наилучших оценок.

Базисный план, полученный методом аппроксимации наиболее приближен к оптимальному результату, так как он имеет наибольший, а, следовательно, и лучший показатель целевой функции (108770 т). Этот план и принимаем за исходный вариант решения.

Задание 6.

Проверка лучшего из вариантов на оптимальность методом потенциалов и улучшение базисного плана до оптимального результата.

Опорное решение, полученное любым из ранее рассмотренных методов, как правило, не является оптимальным. В соответствии с алгоритмом, следующим этапом является проверка базисного плана на оптимальность. Наиболее простой и распространенный метод нахождения оптимального плана – метод потенциалов. Данный метод позволяет в результате небольшого числа операций сразу определить оценки свободных клеток. Метод потенциалов тесно связан с симплекс-методом и теорией двойственности линейного программирования. Опустим доказательство промежуточных теорем и воспользуемся простой схемой-алгоритмом:

1. Для проверки опорного базисного плана на оптимальность рассчитываются потенциалы строк и столбцов по формулам:

(1)

(2)

– потенциал строки;

 потенциал столбца.

Потенциалы рассчитываются только по клеткам занятым площадями. Потенциал первой строки всегда = 0.

2. Для свободных от площадей клеток рассчитывается значение К_ij, называемое характеристикой свободной клетки. Значение К_ij или характеристика свободной клетки является признаком оптимальности базисного плана. При решении задачи на max функции цели К_ij > 0, т.е. характеристики незанятых клеток должны быть положительными или равными нулю.

Рассчитывается характеристика по формуле:

(3)

3. В клетку, не удовлетворяющую по характеристике условиям оптимальности, должна быть перераспределена площадь. Если их несколько, площадь распределяется в первую очередь в клетку с наибольшим по абсолютной величине показателем характеристики (К_ij).

4. Для перераспределения площадей строится замкнутый контур – это многоугольник с прямыми углами, одной из вершин которого является характеристика клетки, подлежащая проверке на оптимальность, а остальные вершины – показатели X_ij в занятых клетках.

Правило построения замкнутого контура:

1. В опорном плане берут клетку, в которой не выполняется условие оптимальности, от нее проводят прямые линии до первой занятой клетки;

2. В занятой клетке делают поворот на 90 градусов и ведут линию до следующей занятой клетки;

3. Повороты в занятых клетках делают до тех пор, пока контур не замкнется в исходной, свободной клетке. Число вершин в замкнутом контуре всегда четное, наименьшее равно 4, наибольшее (m+n), в нашем случае 10;

4. В полученном контуре в клетке, где не выполняется условие оптимальности, показателю X_ij придают знак «+», а следующим показателям по вершинам цепи поочередно «», «+»;

5. Наименьшая величина площади, при знаке «», перераспределяется по контуру.

В результате движения площади по цепочке суммарный результат по строкам и по столбцам не должен измениться. Для каждой клетки, где не выполняется условие оптимальности можно построить только один замкнутый контур.

Рассчитаем потенциалы и характеристики незанятых клеток на базисном плане, составленном методами аппроксимации и наилучших оценок.

Таблица 6 – потенциалы базисного плана составленного методом аппроксимации

	потенциалы столбцов	V1=68			V2=49			V3=41			V4=53			V5=36			Проектные площади участков, га
потенциалы строк	Участки севооборота	Урожайность культур при размещении на данном участке, тонн с 1 га
		Озимая пшеница			Ячмень			Однолетние травы			Рожь			Фиктивная культура
U1=0	1		-	51		-	21		320	41		-	9		-	0	320
U2=1	2		-	33		-	24		780	40		-	29		-	0	780
U3=36	3		500	32		430	13		400	5		-	9		100	0	1430
U4=23	4		-	35		460	26		-	15		-	13		-	0	460
U5=24	5		-	38		460	25		-	11		600	29		-	0	1060
	Площади посевов культур, га	500			1350			1500			600			100			4050/4050

Расчет потенциалов и оценок свободных клеток:

	потенциалы столбцов	V1=68			V2=49			V3=41			V4=53			V5=36				Проектные площади участков, га
потенциалы строк	Участки севооборота	Урожайность культур при размещении на данном участке, тонн с 1 га
		Озимая пшеница			Ячмень			Однолетние травы			Рожь			Фиктивная культура
U1=0	1		-	51		-	21		320	41		-	9		-	0		320
		+17			+28						+14			+36
U2=1	2		-	33		-	24		780	40		-	29		-	0		780
		+34			+24						+24			+35
U3=36	3		500	32		430	13		400	5		-	9		100	0		1430
											+44
U4=23	4		-	35		460	26		-	15		-	13		-	0		460
		+10						+3			+40			+13
U5=24	5		-	38		460	25		-	11		600	29		-	0		1060
		+6						+6						+12
	Площади посевов культур, га	500			1350			1500			600			100				4050/4050

Характеристики всех свободных клеток отвечают условиям оптимальности, т.е. все значения положительные.

Ответ

Урожайность со всех участков севооборота в базисном плане, построенном методами:

1. Северо-западного угла  78070 т;

2. Наилучших оценок  102250 т;

3. Аппроксимации – 108770 т.

При этом максимальная урожайность равна 108770 т.