1 Общие рекомендации

Для составления дифференциального уравнения движения механической системы используется уравнение Лагранжа II рода.

Численный расчет полученного дифференциального уравнения производится методами Эйлера или Рунге-Кутта 4-го порядка любыми программными средствами.

Алгоритм управления электродвигателем может быть реализован двумя способами:

1. включения-выключения питающего напряжения;

2. плавная регулировка значения питающего напряжения.

В отчёт следует включить расчётную схему МС, исходные данные для расчёта, математическую модель динамики механической части, алгоритмы управления, а также все необходимые формулы и графики. Необходимо привести основные выводы по содержанию работы.

Отчет оформляется в соответствии с требованиями ГОСТ. К отчету прилагается расчетная часть программы.

2. Пример выполнения задания

2.1 Расчётная схема и исходные данные

Дано:

m₁ = 50 кг, m₂ = 100 кг, m₃ = 200 кг, R₁ = 0.1 м , R₂ = 0.3 м , r₂ =R₂ /1.5 ,

М_С = 2000 Н·м, М = a - b a = 1500 Н·м, b = 10 Н·м·с

Расчётная схема представлена на рис. 2.

Рис. 2 Расчетная схема.

2.2 Математическое описание механической системы

Для составления дифференциального уравнения движения воспользуемся уравнением Лагранжа II рода. Приняв за обобщенную коор­динату системы угол отклонения от положения покоя тела 1 , имеем

, (1)

где Т - кинетическая энергия системы; Q – обобщенная сила.

Найдем кинетическую энергию системы, равную сумме кинетических тел 1, 2 и 3 T=T₁+T₂+T₃ (2)

Выразим скорости всех тел системы, через скорость второго тела, обозначив ее .

Для первого тела: , .

Для третьего тела: .

Моменты инерции колес 1 и 2 относительно осей:

,

Кинетическая энергия системы:

, (3)

Выразим все скорости через обобщенную скорость:

.

Найдем частные производные:

= 0; =.

Найдем обобщенную силу через работу на элементарном перемещении всех активных сил. Работа равна: А=Q

(4)

В общем виде уравнение (1) принимает вид:

(5)

Решим данное дифференциальное уравнение численным методом и изобразим характеристики исполнительного органа системы (лифта). При этом время движения примем равным t_кон = 30 с.

Рис. 3 Перемещение исполнительного органа

Рис. 4 Скоростная характеристика исполнительного органа:

1 – реальная, 2 – планируемая.

Планируемая характеристика имеет характер, приведенный на рис. 4, с четырьмя характерными участками: разгон, рабочее (установившееся) движение, торможение, остановка

В соответствии с выбранным временем расчёта t_кон зададим параметры планируемой скоростной характеристики:

t_раз = 5 с; t_уст = 20 с; t_тор = 5 c.

Рабочую скорость движения примем равной: v_уст = 0.8· v₁,

где v₁ – установившаяся скорость реальной характеристики (см. рис. 4).

Рис. 5 Ускорение исполнительного органа

2.3. Математические модели автоматического управления системой

2.3.1. Режим постоянных управляющих сигналов

Режим постоянных управляющих сигналов заключается в попеременном включении и выключении (или переключении на другое значение) питающего напряжения.

При этом режиме крутящий момент М изменяется на некоторую постоянную величину при отклонении реальной характеристики системы от планируемой.

Очевидно, в этом случае изменяется коэффициент а на некоторую величину. При этом новое (регулировочное) значение коэффициента а зададим с помощью так называемых коэффициентов увеличения Δ₁ и коэффициента уменьшения крутящего момента Δ₂. Коэффициент увеличения момента примем равным

Δ₁ = 0.1·а, и рассмотрим три случая при различных значениях коэффициента уменьшения (Δ₂ = 0.3·а; Δ₂ = 0.8·а; Δ₂ = 058·а).

Т.е. крутящий момент двигателя в режиме постоянных управляющих сигналов принимает различные значения в зависимости от соотношения реальной и планируемой скоростных характеристик:

Построим регулировочные характеристики для тёх случаев регулирования.

1) Δ₁ = 0.1·а Δ₂ = 0.3·а

Рис. 6 Скоростная характеристика исполнительного органа:

1 – реальная; - 2 – планируемая (требуемая)

Рис. 7 Ускорение исполнительного органа

2) Δ₁ = 0.1·а Δ₂ = 0.8·а

Рис. 8 Скоростная характеристика исполнительного органа:

1 – реальная; -2 – планируемая (требуемая)

Рис. 9 Ускорение исполнительного органа

3) Δ₁ = 0.1·а Δ₂ = 0.5·а

Рис. 10 Скоростная характеристика исполнительного органа:

1 – реальная; - 2 – планируемая (требуемая)

Рис. 11 Ускорение исполнительного органа

Анализируя полученные кинематические характеристики исследуемой мехатронной системы (см. рис. 6-11), приходим к выводу, что наиболее адекватно система «отрабатывает» заданную скоростную характеристику в 3-м случае регулирования, т.е. при Δ₁ = 0.1·а; Δ₂ = 0.5·а. Возникающие при этом ускорения исполнительного органа сравнительно невысокие (до 1,5 – 2 g) на всём продолжении движения лифта.

Примем эти параметры оптимальными при данном способе управления системой. На рис. 12 приведен график отклонения реальной скорости от планируемой.

Рис. 12 «Невязка» реальной и планируемой скорости лифта.

График изменения крутящего момента представлен на рис. 13.

Рис. 13 График изменения крутящего момента двигателя

На рис. 14 приведен управляющий сигнал.

Рис. 14 Управляющий сигнал.

Из анализа приведенных графиков следует, что в режиме постоянных управляющих сигналов исполнительный орган (лифт) в отдельные моменты движения не достаточно адекватно отрабатывает требуемую скоростную характеристику, при этом достаточно высок уровень ускорений.