Властивості композицій:

1. BA  AB;

2. D(BA) = (DB)A;

3. (BA)^-1 = A^-1B^-1.

Подання композицій відношень матрицями та графами

Твердження 1. Матриця композиції відношення C = AB утворюється як добуток матриць відношень B та A. Якщо c_ik > 1, то їх замінюємо на 1.

Приклад. =  .

Нехай A  X  Y, B  Y  Z. Для того, щоб побудувати граф C = BA, потрібно до графа відношення A добудувати граф відношення B. Граф відношення дістанемо, якщо вилучимо вершини, які відповідають елементам множини Y. При вилучені вершини y_i кожний шлях, що проходить через неї від вершин множини X до вершин множини Z, замінюється однією дугою з тим самим напрямком

x₁

x₂

x₃

x₄

x₅

y₁

y₂

y₃

y₄

z₁

z₂

z₃



x₁

x₂

x₃

x₄

x₅

z₁

z₂

z₃

Властивості відношень

Нехай A – бінарне відношення у множині X (A  X  X). Тоді відношення A є:

• рефлексивним, якщо  x  X (xAx), якщо виконується між елементом і ним самим, тобто E  A;

• антирефлексивним, якщо A E = , тобто якщо співвідношення x_iAx_j виконується, то x_i  x_j;

• симетричним, якщо A = A^-1, тобто при виконанні співвідношення x_iAx_j виконується співвідношення x_jAx_i, наприклад, відстань між двома точками;

• асиметричним, якщо A A^-1 = , тобто із двох співвідношень x_iAx_j й x_jAx_i хоча б одне з них не виконується;

• антисиметричним, якщо A A^-1  E, тобто обидва співвідношення x_iAx_j й x_jAx_i одночасно виконуються тоді й тільки тоді, коли x_i = x_j;

• транзитивним, якщо AA  A, тобто з виконання співвідношень x_iAx_j й x_jAx_k випливає виконання співвідношення x_iAx_k.

В матриці рефлексивного відношення всі елементи головної діагоналі – одиниці. В матриці антирефлекснивного відношення всі елементи головної діагоналі – 0. Матриця асиметричного відношення така, що всі елементи головної діагоналі 0 й немає жодної пари одиниць на місцях, симетричних відносно головної діагоналі. Матриця транзитивного відношення характеризується тим, що коли a_ji = 1 й a_kj = 1, то a_ki = 1, причому наявність одиничних елементів на головній діагоналі не порушує позитивності матриці. Матриця антисиметричного відношення має ті самі властивості, що й асиметричного, за винятком вимоги рівності нулеві елементів головної діагоналі.

Граф рефлексивного відношення характеризується тим, що петлі є у всіх вершинах, граф антирефлексивного відношення не має жодної петлі.

Для симетричного відношення вершини графа можуть бути пов’язані тільки парами протилежно спрямованих дуг.

Граф транзитивного відношення характеризується тим, що коли через деяку сукупність вершин проходить шлях, то існують дуги, які з’єднують будь-яку пару вершин з цієї сукупності в напрямку шляху. Такі графи зображають тільки цей шлях і називаються графом редукції.

Н априклад, для п’яти вершин

Означення. Декартовим добутком A₁  A₂  … A_n = множин A₁, A₂, …, A_n називають множину

C = {(a₁, …, a_n), a₁  A₁, a₂  A₂, …, a_n  A_n}

Якщо A₁ = A₂ = … = A_n, то множину C = A₁  A₂  … A_n­ називають прямим степенем множини A і позначають Aⁿ.

Означення. Підмножину R  Aⁿ називають n-місним відношенням на множині A, якщо (a₁, …, a_n)  R.

Приклади. Відношення на множині точок дійсної множини:

1. відношення „знаходитися на однаковій відстані від початку координат” виконується для пар точок (3, 4) і (-2, ), але не виконується для (3, 4) і (1, 6);

2. відношення „бути симетричним відносно осі X” виконується для всіх пар точок (x₁, y₁) і (x₂, y₂), які задовольняють умову x₁ = x₂, y₁ = y₂.

Функціональні відношення. Відношення f  X  Y називається функціональним, якщо його елементи (впорядковані пари) мають різні перші координати: x  D₀(f)  y ((x, y)  f), тобто кожному x  X відповідає тільки один елемент y  Y.

Якщо D₀(f) = X, то функціональне відношення f називається всюди визначеним. Матриця функціонального відношення місить y у кожному стовпці не більше як один одиничний елемент, а його граф характеризується тим, що з кожної вершини може виходити тільки одна дуга (враховуючи петлі).

Приклад. Нехай X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆} та Y = {y₁, y₂, y₃}. Відношення A = {(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₁), (x₅, y₃), (x₆, y₁)} очевидно є функціональним.

Нехай: X = {1, 2, 3, 4} й Y = {1, 4, 9, 16, 25}, тоді B = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)} є функціональним відношенням.

Функції та відображення. Усяке функціональне відношення можна розглядати як функцію: y = f(x), чи xfy, або (x, y)  f. Потрібно розглядати функцію f, як множину впорядкованих пар (відношення) і значення функції y = f(x) як другу координату однієї з таких пар.

Відношення обернене до функціонального загалом не є функціональним.

Приклад. A^-1 = {(y₁, x₁), (y₁, x₃), (y₁, x₆), (y₂, x₂), (y₃, x₅)} не є функціональним. Якщо функціональне відношення f  X  Y всюди визначено на X(D₀(f) = X), то його називають відображенням множини X в Y: X Y.

Очевидно, що відмінність між відображенням та функцією зводиться до способу означення цих відношень на множині X, причому відображення потрібно розглядати як окремий випадок функції.

Типи відображень. Якщо будь-який елемент з Y є образом принаймні одного елемента з X, то кажуть, що множина X відображується на Y (явище сур’єкції, або накриття)

X

x

f(x)

Y

Я

X

кщо для будь-яких двох різних елементів x₁ й x₂ з X їх образи y₁ = f(x₁), y₂ = f(x₂) також різні, то відображення f називається ін’єкцією або взаємно однозначним відображенням

x₁

Y

f(x₁)

f(x₂)

x₂

Відображення, яке є одночасно сюр’єктивним та ін’єктивним називається бієкцією (накладанням). Це означає, що між елементами X й Y існує взаємно однозначна відповідність.

X

Y

f

x

f(x)

f ^-1

Якщо f – взаємно однозначне відображення, а X = Y, то f: X  X називається відображенням множини X на себе. Елементи (x, x)  X  X утворюють тотожне відображення E, причому ff ^-1 = f ^-1f = E.

Образи і прообрази. Сукупність усіх елементів, образом яких є заданий елемент y, називається повним прообразом елемента y і позначається f ^-1(y).

Приклад. A^-1 = {(y₁, x₁), (y₁, x₃), (y₁, x₆), (y₂, x₂), (y₃, x₅)}, f ^-1(y₁) = {x₁, x₃, x₆}.

Сукупність елементів f(x), які є образами всіх елементів множини X називається образом цієї множини f(X), де x називається прообразом, y – образ (значення).