Деякі операції над висловленнями

Нехай A і B – висловлення.

1. Диз’юнкцією називається висловлення A  B (A або B), для якого f(A  B) = max{f(A), f(B)} або висловлення A  B істинне тоді й тільки тоді, коли хоча б одне з висловлень A або B є істинним.

2. Кон’юнкцією називається висловлення A  B (A і B), для якого f(A  B) = min{f(A), f(B)} або висловлення A  B істинне тоді й тільки тоді, коли висловлення A і B – істинні одночасно.

3. Імплікацією називається висловлення A  B (якщо A, то B), для якого f(A  B) = max{1 – f(A), f(B)} або висловлення A  B хибне тоді й тільки тоді, коли A – істинне і B – хибне.

4. Запереченням називається висловлення –A (не A), для якого f(–A) = 1 – f(A) або висловлення A істинне тоді й тільки тоді, коли –A – хибне.

f(A)	f(B)	f(–A)	f(A  B)	f(A  B)	f(A  B)
0	0	1	0	0	1
0	1	1	1	0	1
1	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1

Формули в алгебрі логіки

Нехай P – множина всіх булевих функцій.

Означення 1. Нехай L – деяка (не обов’язково скінченна) підмножина функцій з P, L  P. Кожна функція f(x₁, …, x_m) із L (f  L) називається формулою.

Означення 2. Нехай f₀(x₁, …, x_m) – функція з L (f₀  L) й A₁, …, A_m – вирази, що є або формулами або символами змінних із U (A_i  U). Тоді вираз f₀(A₁, …, A_m) також називається формулою.

Означення 3. Будь-яке висловлення, що складається із деяких початкових висловлень за допомогою 14 можливих логічних операцій із 16, крім 0 та 1, також називається формулою алгебри логіки.

При утворення (побудові) формул використовуються знаки (символи) трьох категорій:

• символи змінних x, y, a, b, c, …;

• символи логічних операцій  (та),  (або),  (сума за модулем 2), …;

• пари символів ( ), [ ], { } – дужки.

Приклад формули: {[(x₁x₂) + x₁] + x₂}; а вираз (AB(xy не є формулою, оскільки в ньому є незакриті дужки.

На практиці дужки поділяють на внутрішні та зовнішні. Вираз F = A  B означає формулу, хоча він без дужок, але для скорочення запису зовнішні дужки часто пропускають.

Означення 4. Нехай F – довільна формула. Тоді формули, що використовувалися для її побудови, називаються підформулами формули F.

Означення 5. Якщо формула F(x₁, …, x_­n) описує функцію f(x₁, …, x_n), тобто формула F є формулою для змінних x₁, …, x_n, де f  L, то ка­жуть, що формулі F відповідає функція f, або формулі F зіставлена функція f.

Функція f, що відповідає формулі F, називається суперпозицією функцій з множини функцій.

Приклад 1. F₁ = (((x₁x₂) + x₁) + x₂) будується за три кроки: 1) (x₁x₂); 2) ((x₁x₂) + x₁); 3) F₁ = (((x₁x₂) + x₁) + x₂):

x1	x2	x1x2	(x1x2) + x1	F1 = ((x1x2) + x1) + x2
0	0	0	0	0
0	1	0	0	1
1	0	0	1	1
1	1	1	1	1

Приклад 2. F₂ = (x₂ + x₃) будується за три кроки: 1) (x₁ + x₃); 2) ( ); 3) F₂ = ((x₂ + x₃) ):

x1	x2	x3	x2 + x3		F1 = ((x1x2) + x1) + x2
0	0	0	0	1	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	0
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	0	0
1	1	1	1	0	0

Означення 6. Формули F₁ та F₂ називаються рівносильними, якщо при будь-яких значеннях змінних x₁, x₂, …, x_n, що входять у ці формули, вони набувають однакових значень.

Приклади:

1) x  x (x або x) рівносильне x;

2) x  y рівносильне y  x.

Якщо формули F₁ та F₂ – рівносильні, то формула (F₁ ~ F₂) (еквівалентність) набуває значення істини при всіх значеннях змінних і навпаки. Якщо формула F₁ ~ F₂ набуває значення істини при всіх значеннях змінних, то формули F₁ й F₂ рівносильні.

Приклади рівносильних формул:

1) рівносильне x;

2) xy рівносильне yx;

3) (xy)z рівносильне x(yz);

4) x + y рівносильне y + x;

5) (x + y) + z рівносильне x + (y + z);

6) x + x рівносильне x;

7) xx рівносильне x;

8) x + (xy) рівносильне x.