Узагальнення операцій над множинами

Об’єднання сукупності множин можна подати співвідношенням:

А₁ A₂ … A_n = .

Аналогічно на n множин узагальнюється операція перерізу:

А₁ A₂ … A_n = .

Закон де Моргана в узагальненому вигляді має вигляд:

= і = .

Означення 11. Сукупність множин А₁, A₂, …, A_n називається розбиттям множини А, якщо:

1. = А;

2. А_і A_j =   i  j.

Означення 12. Прямим (або декартовим) добутком множин А і В називається множина всіх упорядкованих пар елементів (a, b), з яких перший належить множині А, а другий – множині В, тобто А  B = {(x, y)  x A  y  B}.

А  B  B  A, тобто прямий добуток властивості комутативності не має.

Операція прямого добутку множин узагальнюється на будь-яку їх кількість і записується у вигляді

= А₁  A₂  …  A_n.

Властивості:

(A₁ A₂)  B = (A₁  B) (A₂  B);

(A₁ A₂)  B = (A₁  B) (A₂  B);

(A₁ – A₂)  B = (A₁  B) – (A₂  B);

А  A  …  A = Aⁿ.

Задачі до теми „Алгебра лінійних множин”

Приклад 1. Довести рівність A (B C) = (A B) (A C).

Розв’язування. а) Нехай x  A (B C), тоді x  A або (x  B C). Звідси x  A або (x  B і x  C). Отже, (x  A або x  B) і (x  A або x  C). Тобто x  A B і x  A C. Звідси x  (A B) (A C).

б) Нехай x  (A B) (A C)  (x  A B) і (x  A C)  (x  A або x  B) і (x  A або x  C)  (x  A) або (x  B і x  C)  (x  A) або (x  B C)  x  A (B C).

Приклад 2. Спростити вираз X = (A B C) ( C) ( C).

Розв’язування. X = (A B C) (( C) ( C)) = (A B C) (С ( )) = ((A B) C) ( ) C) = ((A B) ( )) C = U C = C.

Отже, (A B C) ( C) ( C) = C.

Приклад 3. Нехай X = (A \ B) \ C і Y = A \ (B \ C). Показати, що X  Y і Y \ X = A C.

Розв’язування. Доведемо, що X  Y. Якщо X  Y, то X Y = . Знайдемо значення X . Використовуючи властивості операцій над множинами, маємо

X ((A \ B) \ C) ( ) = ((A ) ) ( ) = (A ) ( (B )) = ((A ) ) ((A ) ( B)) = ( ) ((A ) ) =   = .

Приклад 4. Нехай A B  C, довести, що A  C і B  C.

Розв’язування. Нехай A B  C, тоді (A B) =   (A ) (B ) =   A =  і (B ) =   A  C і B  C.

Приклад 5. Нехай D  A і D  B, довести, що D  A B.

Розв’язування. Нехай D  A B  D ( ) =   D ( ) =   (D ) (D ) =   D =  і В =   D  A і D  B.

Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь

де A, B і C дані множини і B  A  C.

Розв’язування. Із першого рівняння системи за умовою задача отримуємо (A X) \ B =  і (B \ (A X)) = . Оскільки (A X) \ B = (A X) = (A ) X = ( ) X = ( ) X = X ( ) = . Тому X  B. З іншого боку, B \ (A X) = B ( ) = B ( ) = (B ) (B ) =  (B ) = . Тому B  X.

Отже,

B  X  B. (1)

Аналогічно, з другого рівняння системи знаходимо:

(A X) \ C = (A X) = (A ) (X ) =  (X ) = X =  за умовою задачі. Отже, X  C.

C \ (A X) = C ( ) = C ( ) = (C ) =  за умовою задачі. Отже, X  C . Таким чином,

С  X  С. (2)

Із співвідношень (1), (2), знаходимо B (C )  X  C ( B). Оскільки C ( B) = ( C) (C B) = ( C) B = B (C ), то X = B (C ).

Перевіримо, чи задовольняє одержаний розв’язок рівняння системи

A X = A (B (C )) = (A B) (A C ) = (A B) ((A ) C) = (A B)  = B, оскільки B  A.

A X = A (B (C )) = (A B) (C ) = A (C ) = (A C) (A )= (A C) U = A C, оскільки A  C, B  C.

Отже, рівняння системи задовольняються, а множина X = B (C ).

Приклад 7. Довести тотожності:

1) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C);

2) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C);

3) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C);

4) A \ (A \ B) = A B;

5) (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C);

6) A (B \ C) = (A B) \ (A C) = (A B) \ C;

7) A (B \ C) = (A\ C) (B \ C);

8) A (B \ A) = ;

9) A (B  C) = (A B)  (A C);

10) A  (A  B) = B;

11) A  U = .

Приклад 8. Використовуючи властивості операцій над множинами, довести справедливість таких рівностей

1) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C);

2) A \ (B C) = (A \ B) \ C;

3) (A \ B) C = (A C) \ B;

4) (A B) \ (A ) = A  B;

5) (A B C) ( B C) = B C;

6) = ( ) C;

7) (A B C ) ( C) ( C) (C D) = C;

8) (A B) (B C) (C A) = (A B) (A C) (B C);

9) (A B ) ( B ) C = U.

Приклад 9. Використовуючи властивості операцій над множинами, спростити вирази:

1) (A B) (A );

2) (A B) ( B) (A ) ( );

3) A (B \ (A B)) (C \ (A C));

4) ((A B) B) (A (A B));

5) ( ) B;

6) (A\ B) (B \ C) (C \ A) (A B C);

7) (A B M) (A B C M N) (A M );

8) ((A M) (B )) ((C M) (D )).

Приклад 10. Довести, що для довільних множин A, B, C правильні твердження:

1) A  B =   A = B;

2) A B  C  A  C;

3) A  B C  A  C.

Приклад 11. Розв’язати систему рівнянь

1) де A, B і C задані множини і B  A  C;

2) де B  A; A C = ;

При яких множинах A, B, C, D системи мають розв’язки?

3) 4) 5) 6)

7)

Приклад 12. Довести, що: 1) 2^{A B} = 2^A 2^B; 1) 2^{A B} = 2^A 2^B.

Приклад 13. Довести, що A  B  C тоді й лише тоді, коли (C \ A) B = C.

Приклад 14. Довести, що з кожного з трьох співвідношень A  B, A B = A, A B = B випливають інші.

Приклад 15. Довести, що = .