Алгебра множин

Операції над множинами, як і операції над числами, мають деякі властивості. Останні виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретного вмісту множин, що входять у них, і є підмножинами деякого універсуму U.

Операції об’єднання, перетину, різниці множин називають бінарними операціями, оскільки беруть участь дві множини. Операція абсолютного доповнення потребує участі однієї множини, тому називається унарною операцією.

Комутативний закон

1а) А B = B A;

1б) A B = B A

Асоціативний закон

2а) А (B С) = (А B) С

2б) А (B С) = (А B) С

Дистрибутивний закон

3а) А (B С) = (А B) (A С)

3б) А (B С) = (А B) (A С)

Властивості  та U-універсум

4а) А  = A 5а) А = U 6а) А U = U 7а) = U

4б) А U = A 5б) А =  6б) А  =  7б) = 

Закон ідемпотентності (самопоглинання)

8а) А А = А

8б) А А = А

Закон поглинання

9а) А (A B) = А

9б) А (A B) = А

Теорема де Моргана

10а) =

10б) =

Властивості доповнення, різниці та рівності

11) А B = U =   B =

12) = А – властивість інволюції

13) A – B = A

14) A  B = (A ) ( B)

15) A  B  C = A  (B  C) (диз’юнктивна сума)

16) A  B = В  A

17) A   =   A = A

18) A  B  A B = A  A B = B  A = 

19) A = B  (A ) ( B) = 

Доведемо, наприклад, рівність

А (B С) = (А B) (A С). Для цього розглянемо  x  А (B С)  x  А або (x  B і x  C). За законом дистрибутивності маємо x  А або x  B і x  А або x  C, тобто x  А B і x  А C, тобто x  (А B) (A С), що й треба було довести.

Нехай потрібно обчислити потужність множини C = A B. Тоді N(A B) = N(A) + N(B) – N(А B), оскільки додаючи потужності множин А і В, спільні елементи враховуються двічі і кількість їх один раз потрібно відняти.

Якщо D = А B С, то N(А B С) = N(А B) + N(C) – N((А B) С) = N(А B) + N(C) – N((А С) (B С)) = N(A) + N(B) + N(C) – N(А B) – N(А С) – N(B С) + N(A С B).

Методом математичної індукції можна довести формулу потужності об’єднання n множин (формулу включення і виключення)

N (А₁ A₂ … A_n) = +

+ + + .

Доведемо тотожність 10б): = .

а) Нехай x  ( )  x  A B  x  A або x  B  x  або x   x  .

б) Нехай x   x  або x   x  A або x  B  x  A B  x  ( ).

Доведемо властивість 7б): = . Оскільки за рівністю 5)  = U, = B ,  U = , маємо A  = A, U =  =  = .

Доведемо, що А (B  С) = (А B)  (А C).

А (B  С) = А ((B ) (С ) = (A (B )) (A (C )) = (A B ) (A C ).

(A B)  (A C) = ((A B) ( )) (( ) (A C)) = ((A B) ( )) (( ) (A C)) = (((A B) ) ((A B) ) ( (A C) ( (A C)))) = (A ) B (A B ) ((A ) C) (A C ) = (A B ) (A C ).

Доведемо, що (А B) (A С)  А (B С). Для x  (А B) (A С)  x  A або x  B і x  A або x  С; або x  A, або (x  B і x  С), тобто x  А (B С), що і потрібно було довести.