- •Буковинський університет
- •Дискретна математика
- •Навчально-методичний посібник
- •Чернівці
- •Задачі та вправи 12
- •Задачі та вправи 28
- •Тема „Алгебра лінійних множин”
- •Способи задання множин
- •Порожня множина ()
- •Операції над множинами
- •Універсум (u)
- •Множина підмножин
- •Алгебра множин
- •Узагальнення операцій над множинами
- •Задачі до теми „Алгебра лінійних множин”
- •Тема „Відношення і функції”
- •Окремі випадки відношень
- •Властивості композицій:
- •Властивості відношень
- •Основні властивості відображень
- •Відношення еквівалентності
- •Відношення порядку
- •Відношення рівнопотужності
- •Властивості скінченних множин
- •Властивості зчисленних множин
- •Задачі до теми „Відношення і функції”
- •Тема „Булеві функції”
- •Способи задання булевих функцій
- •Булеві функції однієї змінної
- •Область визначення булевих функцій
- •Елементарні функції алгебри логіки
- •Булевий простір
- •Властивості функцій
- •Деякі операції над висловленнями
- •Формули в алгебрі логіки
- •Основні тотожності
- •Правила
- •Принцип двоїстості
- •Типи булевих функцій
- •Канонічні форми перемикальних функцій
- •Досконалі диз’юнктивні нормальні форми перемикальних функцій
- •Досконалі кон’юнктивні нормальні форми перемикальних функцій
- •Властивості досконалих форм
- •Скорочена диз’юнктивна нормальна форма перемикальних функцій
- •Утворення скороченої диз’юнктивної нормальної форми методом Квайна
- •Метод Квайна-Маккласкі
- •Утворення мінімальних кон’юктивних нормальних форм
- •Алгоритм утворення мінімальної кнф
- •Геометричне подання функцій алгебри логіки
- •Спрощення булевих функцій
- •Задачі до теми „Способи задання булевих функцій. Операція суперпозиції”
- •Задачі до теми „Істотні та фіктивні змінні”
- •Задачі до теми „Спеціальні види формул. Диз’юнктивні і кон’юнктивні нормальні форми. Поліном Жегалкіна”
- •Задачі до теми „Замкнуті класи і повнота системи булевих функцій” Важливіші замкнуті класи булевих функцій
- •Задачі до теми „Класи функцій, що зберігають константи”
- •Задачі до теми „Двоїстість і клас самодвоїстих функцій”
- •Задачі до теми „Монотонність і клас монотонних функцій”
- •Повнота систем булевих функцій
- •Тема „Рекурсивні функції”
- •Частково-рекурсивні функції
- •Тема „Скінченні автомати. Машина Тьюринга”
- •Машина Тьюринга
- •Тема „Основні поняття і властивості алгоритмів”
- •Основні вимоги до алгоритмів
- •Основні властивості алгоритму
- •Тема „Формальні системи. Алгебра висловлювань”
- •Аксіоматичний спосіб опису висловлювань
- •Властивості числення висловлювань
- •Задачі до теми „Алгебра висловлювань”
- •Тема „Логіка і числення предикатів”
- •Рівносильність формул
- •Задачі до теми „Логіка і числення предикатів”
- •Тема „Алгебри. Типи алгебр. Алгебраїчні системи”
- •Гомоморфізм та ізоморфізм алгебри
- •Типи алгебр
- •Алгебраїчні системи
- •Тема „Елементи комбінаторики”
- •Формула включень і виключень
- •Рекурентні співвідношення
- •Основні властивості кількості сполук
- •Біном Ньютона
- •Властивості розкладу бінома Ньютона і біномних коефіцієнтів
- •Поліномні твірні функції
- •Розміщення і функціональні відображення
- •Розбиття
- •Поліномна формула
- •Задачі до теми „Комбінаторика”
- •Тема „Графи”
- •Задання графа за допомогою матриці інцидентності та списку ребер
- •Задання графа за допомогою матриці суміжності
- •Локальні степені вершин графа
- •Частини графа, суграфи та підграфи
- •Операції з частинами графа
- •Маршрути, ланцюги та цикли
- •Цикломатичне число графа
- •Задачі до теми „Графи”
- •Література
- •Навчальне видання Пукальський Іван Дмитрович,
- •Лусте Ірина Петрівна,
- •Дискретна математика
Буковинський університет
Дискретна математика
Навчально-методичний посібник
Чернівці
2006
УДК 510.6(075.8)
Д 482
ББК 22.122я7
Друкується за ухвалою Вченої ради Буковинського університету (протокол № від 2006 р.)
Рецензенти:
Городецький В.В. – доктор фіз.-мат. наук, професор ЧНУ;
Окуненко В.М. – канд. техн. наук, с.н.с.
Д 482 Дискретна математика. Навчально-методичний посібник / Укл. І.Д.Пукальський, І.П.Лусте. – Чернівці: , 2006 р. – 156 с.
Методичний посібник містить довідниковий матеріал, приклади розв’язування типових задач, а також завдання для самостійних занять відповідно до навчальної програми.
Для студентів комп’ютерних спеціальностей.
УДК 510.6(075.8)
Д 482
ББК 22.122я7
Пукальський І.Д., Лусте І.П.
Буковинський університет
Зміст
Вступ 4
Тема: Алгебра лінійних множин 6
Задачі та вправи 12
Тема: Відношення і функції 16
Задачі та вправи 28
Тема: Булеві функції 32
Задачі та вправи:
Способи задання булевих функцій. Операція суперпозиції 57
Істотні та фіктивні змінні 63
Спеціальні види функцій. Диз’юнктивні і кон’юктивні нормальні форми. Поліном Жегалкіна 66
Замкнуті класи і повнота системи булевих функцій 73
Класи функцій, що зберігають константи 76
Двоїстість і клас самодвоїстих функцій 78
Монотонність і клас монотонних функцій 82
Тема: Рекурсивні функції 86
Тема: Скінченні автомати. Машина Тьюринга 88
Тема: Основні поняття і властивості алгоритмів 92
Тема: Формальні системи. Алгебра висловлювань 97
Задачі та вправи 102
Тема: Логіка і числення предикатів 105
Задачі та вправи 108
Тема: Алгебри. Типи алгебр. Алгебраїчні системи 111
Тема: Елементи комбінаторики 119
Задачі та вправи 133
Тема: Графи 140
Задачі та вправи 150
Література 155
Вступ
Дискретна математика є розділом математики, що зародилася в давні часи. Її головною відмінністю є дискретність, тобто антипод неперервності. Дискретна математика включає традиційні розділи математики, які вже сформувалися (математичну логіку, алгебру, теорію чисел), і нові, що інтенсивно розвиваються. У наш час дискретна математика застосовується в математичній кібернетиці, програмуванні, при створенні автоматизованих систем управління і проектування, засобів передачі й обробки інформації, а також при розв’язуванні багатьох технічних і економічних задач.
Література з дискретної математики в Україні за два останні десятиріччя практично не видавалася. Водночас інженери-математики та програмісти, які займаються прикладними дослідженнями, виявляють все більшу зацікавленість у використанні апарата дискретної математики, що пояснюється широким застосуванням комп’ютерної техніки й інформаційних технологій.
Даний посібник включає не тільки основні поняття і теоретичні результати, а й методи та розв’язання задач. Він дає змогу скласти цілісне уявлення про весь комплекс можливостей цієї науки.
Одна з основних ідей його створення якраз і полягає в тому, щоб навчити студентів основам дискретної математики, сприяти глибшому розумінню й засвоєнню прикладних проблем, у світлі яких трактується основний зміст тем дискретної математики.
В посібнику розглядаються питання, пов’язані з вивченням таких розділів курсу:
алгебра лінійних множин;
відношення і функції;
булеві функції;
основні поняття і властивості алгоритмів;
формальні системи, алгебра висловлювань і предикатів;
елементи комбінаторики;
графи.
У посібнику наводяться основні теоретичні поняття, теореми й алгоритми розв’язування практичних задач. Для деяких з них наведені певні розв’язки, а інші пропонуються для самостійної роботи.
У першому, другому і шостому розділах розглядаються питання, що мають застосування не тільки у дискретній математиці, але і в інших технічних і економічних дисциплінах. Алгебра висловлювань і предикатів дає можливість побудувати з логічної точки зору теорію булевих функцій.
Для ефективнішого вивчення інших розділів дискретної математики студентові необхідно засвоїти таблицю істинності основних елементарних булевих функцій двох змінних, поняття формули над множиною функцій, способи побудови диз’юнктивних і кон’юктивних нормальних форм, а також представлення булевих функцій у вигляді полінома Жегалкіна.
На думку авторів, посібник може бути корисним як для самостійного вивчення дискретної математики, так і для проведення групових аудиторних і практичних занять. Завершується посібник списком літератури, який, окрім суто традиційних функцій, має допомогти студентам при самостійному та більш глибокому вивченні дискретної математики.