Задачи и упражнения по интегральному исчислению функций одной переменной (Контрольная работа № 3 «Техника интегрирования и приложения определенного интеграла»)
В задачах 301-320 найти неопределенные интегралы.
301. а) 
б) 
в) 
302. а) 
б) 
в) 
303. а) 
б) 
в) 
304. а) 
б) 
в) 
305. а) 
б) 
в) 
306. а) 
б) 
в) 
307. а) 
б) 
в) 
308. а) 
б) 
в) 
309. а) 
б) 
в) 
310. а) 
б) 
в) 
311. а) 
б) 
в) 
312. а) 
б) 
в) 
313. а) 
б) 
в) 
314. а) 
б) 
в) 
315. а) 
б) 
в) 
316. а) 
б) 
в) 
317. а) 
б) 
в) 
318. а) 
б) 
в) 
319. а) 
б) 
в) 
320. а) 
б) 
в) 
В задачах 321-340 вычислить определенные интегралы.
321. 
322. 
323. 
324. 
325. 
326. 
327. 
328. 
329. 
330. 
331. 
332. 
333. 
334. 
335. 
336. 
337. 
338. 
339. 
340. 
В задачах 341-350 вычислить определенные интегралы сначала по формуле Ньютона-Лейбница, а затем приближенно по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака. Сравнить полученные значения интеграла.
341. 
342. 
343. 
344. 
345. 
346. 
347. 
348. 
349. 
350. 
В задачах 351-360 найти: 1) точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница; 2) приближенное значение интеграла по формуле трапеций, разбивая отрезок интегрирования на 8 равных частей и производя вычисления с округлением до четвертого десятичного знака; 3) относительную погрешность в процентах.
351. 
352. 
353. 
354. 
355. 
356. 
357. 
358. 
359. 
360. 
361.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболами
и
.
362. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной эллипсом
.
363.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
астроидой
.
364.
Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной параболой
,
прямой х=4
и осью Ох.
365.
Найти объем тела, полученного вращением
вокруг оси Оу
фигуры, ограниченной гиперболой
,
осью Оу
и прямыми у=1
и у=6.
366. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса .
367.
Найти длину дуги кривой
от х1=0
до х2=2,4.
369.
Найти длину одной арки циклоиды
.
370. Найти
длину кардиоиды
.
371.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси Ох
параболы
,
от х1=1
до х2=7.
372.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси Ох
астроиды
.
373.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси Ох
одной арки циклоиды
.
374.
Найти площадь фигуры, ограниченной
окружностями
.
375.
Найти площадь фигуры, ограниченной
кардиоидой
и окружностью с радиусом r=2.
376.
Найти координаты центра тяжести
однородной плоской фигуры, ограниченной
дугой синусоиды
и отрезком оси Ох
от х1=0
до х2=.
377.
Найти координаты центра тяжести
однородной плоской фигуры, ограниченной
кривой
,
осью Ох
и прямой х=4.
378.
Найти координаты центра тяжести
однородной плоской фигуры, ограниченной
кривой
и осями координат.
379.
Найти координаты центра тяжести
однородной плоской фигуры, ограниченной
параболой
и прямой
.
380.
Найти координаты центра тяжести
однородной плоской фигуры, ограниченной
эллипсом
и окружностью
и расположенной в первом квадранте.
В задачах 381-400 вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
381. 
382. 
383. 
384. 
385. 
386. 
387. 
388. 
389. 
390. 
391. 
392. 
393. 
394. 
395. 
396. 
397. 
398. 
399. 
400. 
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ И ИНТЕГРАЛЬНОМУ
ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(Контрольная работа № 4 «Кратные, криволинейные и
поверхностные интегралы»)
В задачах 401-405
дана функция z=f(x,y).
Найти: 1) полный дифференциал dz;
2) частные производные второго порядка
и
;
2) смешанные частные производные
и
.
401. 
402. 
403. 
404. 
405. 
406. Дана
функция
Показать, что
407. Дана
функция
Показать, что
408. Дана
функция
Показать, что
409. Дана
функция
Показать, что
410. Дана
функция
Показать, что
В задачах 411-415 дано уравнение поверхности в неявном виде F (x,y,z)=0. Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к данной поверхности в точке М (x0;y0;z0), если абсцисса х0 и ордината у0 этой точки заданы.
411. 
412. 
413. 
414. 
415. 
В задачах 416-420 дана функция z=f(x,y) и точки Р1(х1;у1) и Р2(х2;у2). Найти приближенное значение данной функции в точке Р2(х2;у2), исходя из ее точного значения в точке Р1(х1;у1) и заменяя приращение z, соответствующим дифференциалом dz, т.е. применяя формулу
416. 
417. 
418. 
419. 
420. 
В задачах 421-430 найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области.
421.
в квадрате
0х4,
0у4.
422.
в треугольнике, ограниченном осями Ох
и Оу
и прямой у=4-х.
423.
в квадрате
-1х1,
0у2.
424.
в квадрате
0х4,
0у4.
425.
в треугольнике, ограниченном осями Ох
и Оу
и прямой х+у=3.
426.
в области,
ограниченной параболой у=х2,
прямой у=4
и осью Оу
(х0).
427.
в прямоугольнике
0х2,
0у3.
428.
в области,
ограниченной параболой у=4-х2и
осью Ох.
429.
в треугольнике, ограниченном прямыми
у=0, х=2, у=х+2.
430.
в прямоугольнике
0х4,
-3у2.
В задачах 431-440 данную функцию z=f(x,y) исследовать на экстремум.
431. 
432. 
433. 
434. 
435. 
436. 
437. 
438. 
439. 
440. 
В задачах 441-460 требуется: 1) построить на плоскости хОу область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования.
441. 
442. 
443. 
444. 
445. 
446. 
447. 
448. 
449. 
450. 
451. 
452. 
453. 
454. 
455. 
456. 
457. 
458. 
459. 
460. 
В задачах 461-480 вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.
461. 
462. 
463. 
464. 
465. 
466. 
467. 
468. 
469. 
470. 
471. 
472. 
473. 
474. 
475. 
476. 
477. 
478. 
479. 
480. 
В задачах 481-490
даны
криволинейный интеграл
и четыре точки плоскости хОу:
О
(0;0), А
(4;0), В
(0;8) и С
(4;8). Вычислить данный интеграл от точки
О
до точки С
по трем различным путям: 1) по ломаной
ОАС;
2) по ломаной ОВС;
3) по дуге ОС
параболы
.
Полученные результаты сравнить и
объяснить их совпадение.
481. 
482. 
483. 
484. 
485. 
486. 
487. 
488. 
489. 
490. 
В задачах 491-500 найти функцию U (x,y) по ее полному дифференциалу dU.
491. 
492. 
493. 
494. 
495. 
496. 
497. 
498. 
499. 
500. 