Примеры решения типовых задач по теории вероятностей

Задача 47. В отделении 10 стрелков, из них 3 отличных, 5 хороших и 2 посредственных. Известно, что вероятность попадания в цель отличным стрелком - 0,9, хорошим - 0,8, и стреляющим удовлетворительно - 0,6. Из строя наугад вызывается один стрелок для производства выстрела по цели. Какова вероятность попадания в цель этим стрелком?

Решение. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H₁, H₂, …, H_n, образующих полную группу (гипотез), в соответствии с формулой полной вероятности, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А, т.е. P(A)=P(H₁)P(A/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+…+P(H_n)P(A/H_n)= .

Пусть событие А – стрелок попал в цель. Гипотезы: H₁ – стрелок отличный; H₂ – стрелок хороший; H₃ – стрелок посредственный. Вероятности этих гипотез следующие: ; ; .

Условные вероятности поражения цели по этим гипотезам даны:

P(A/H₁)=0,9; P(A/H₂)=0,8; P(A/H₃)=0,6

Тогда, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность попадания в цель будет равна

P(A)=0,3×0,9+0,5×0,8+0,2×0,6=0,79.

Задача 48. В условиях предыдущей задачи 47 будем считать, что вызванный наугад стрелок произвел выстрел и попал в цель. Требуется определить вероятности, характеризующие его принадлежность к различным категориям стрелков.

Решение. В соответствии с формулами Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:

В нашей задаче событие А – стрелок попал в цель; гипотезы Н₁ – стрелял отличный стрелок; Н₂ – стрелял хороший стрелок; Н₃ – стрелял посредственный стрелок.

Априорные¹ (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н₁)=0,3; Р(Н₂)=0,5; Р(Н₃)=0,2. Условные вероятности попадания в цель по этим гипотезам даны: Р(А/Н₁)=0,9; Р(А/Н₂)=0,8; Р(А/Н₃)=0,6. Полная вероятность попадания в цель Р(А)=0,79.

Тогда апостериорные² (послеопытные) вероятности гипотез будут равны

;

;

Заметим, что сумма вероятностей гипотез после испытания всегда равна единице. Для нашего примера .

Задача 49. Всхожесть семян данного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность Р_п(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно т раз, вычисляется по формуле

(1)

где есть число сочетаний из п элементов по т.

а) По условию задачи вероятность всхожести семян р=0,9; тогда q=0,1; в данном случае п=5 и т=4. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим

б) Искомое событие А состоит в том, что из пяти посеянных семян взойдут или четыре, или пять. Таким образом, Р(А)=Р₅(4)+Р₅(5). Первое слагаемое уже найдено. Для вычисления второго снова применяем формулу (1):

Следовательно, Р(А)=0,328+0,591=0,919.

Задача 50. Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появиться ровно 415 раз.

Решение. Если число испытаний п велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Использование этой формулы становиться практически невозможным. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает суть локальной теоремы Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р отлично от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность Р_п(т) того, что в этих испытаниях событие А наступит т раз (безразлично, в какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле

(2)

где

Имеются готовые таблицы значений функции (х) (см. табл. 1 Приложения).

Для х5 считают, что (х)0. Так как функция (х) четная, то (-х)=(х). По условию задачи п=625, т=415, р=0,64. Находим q=1-0,64=036. Определяем значение х при этих данных:

По табл. 1 находим, что (1,25)=0,1826. Подставив это значение в (2), получим

Задача 51. Среди семян ржи 0,04 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

Решение. Применение асимптотической формулы (2) для случая, когда вероятность р близка к нулю, приводит к значительному отклонению от точного значения Р_п(т). При малых значениях р (и при малых значениях q) применяют асимптотическую формулу Пуассона.

Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний мала, а число испытаний п достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит т раз, вычисляется приближенно по формуле

(3)

где =пр.

Формулу (3) применяют в тех случаях, когда 10. При этом чем больше число п и меньше число р, тем точнее результат по этой формуле. По условию задачи п=5000, т=5, р=0,0004. Тогда =5000^.0,0004=2. Применяя (3), получим

Задача 52. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от 330 до 375.

Решение. Формулы Бернулли, Пуассона, асимптотическая формула (2), выражающая суть локальной теоремы Лапласа, позволяют найти вероятность появления события А ровно т раз при п независимых испытаниях. На практике часто требуется определить вероятность того, что событие А наступит не менее т₁ раз и не более т₂ раз, т.е. число т определено неравенствами т₁тт₂. В таких случаях применяют интегральную теорему Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р отлична от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее т₁ раз и не более т₂ раз, вычисляется приближенно по формуле

(4)

где

Имеются таблицы значений функции (см. табл. 2 Приложения). Ф(х) называется функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т.е. Ф(-х)=-Ф(х). Поэтому таблица значений дается только для положительных чисел. Функция Ф(х) является монотонно возрастающей. При неограниченном возрастании х функция Ф(х) стремиться к 0,5. Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу (4) можно записать так:

(5)

По условию п=600, р=0,6, т₁=330, т₂=375. Находим  и :

По таблице 2 находим Ф(1,25)=0,3944; Ф(-2,5)=-Ф(2,5)=-0,4938. Подставив эти значения в (5), получим искомую вероятность:

Задача 53. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х)=5; дисперсия D(X)=0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (4,7).

Решение. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (,), вычисляется по формуле

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

(6)

где а=М(Х) и . По условию =5, , =4 и =7. Подставив эти данные в (6), получим

Задача 54. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) =40 см, среднее квадратическое отклонение =0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.

Решение. Если Х – длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-, а+), где а=40 и =0,6. Подставив в формулу (6) =а- и =а+, получим

Таким образом, (7)

Подставляя в (7) имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8664.