4.Задача об оптимальном засеве
Словесная
формулировка. Имеется
участков земли, которые могут быть
засеяны сельхозкультурами
видов. Площади (га) участков
,
заданы. Заданы также площади
отведенные под засев
-ой
культурой. Урожайности
-ой
культуры на
-м
участке земли (центнер/га) известны (
).
Прибыли
,
которые будут получены от продажи одного
центнера зерна
-ой
культуры (руб/центнер) также известны.
Требуется определить план засева, при котором общая прибыль от продажи зерна всего урожая была бы максимальной.
Формальная
постановка. Введем обозначения:
–
количество гектаров, засеваемых под
-ю
культуру на
-м
участке земли. Тогда прибыльность
(в
руб/га)
-ой
культуры на
-м
участке земли определится как
и исходная задача сводится к решению
следующей ЗЛП транспортного типа:
; (4.1)
(4.2)
Задача 4.1. Имеется три участка земли, которые могут быть засеяны кукурузой, пшеницей, ячменем и просом. Площади участков равны соответственно 500, 300 и 200 га. С учетом наличия семян кукурузой, пшеницей, ячменем и просом следует засеять соответственно 250, 350, 150 и 250 га. Урожайности (центнер/га) каждой из культур на каждом из участков земли различны и заданы в таблице. В этой же таблице приведены данные о прибылях, которые получаются от продажи одного центнера зерна каждой культуры:
Сельхозкультура |
Участки земли |
Прибыльность, руб/центнер |
||
I |
II |
III |
||
Кукуруза |
35 |
40 |
45 |
200 |
Пшеница |
25 |
20 |
18 |
220 |
Ячмень |
15 |
20 |
10 |
180 |
просо |
25 |
15 |
20 |
190 |
Определить, сколько гектаров земли следует засеять на каждом участке под каждой культурой, чтобы общая прибыль от продажи зерна всего урожая была бы максимальной.
Решение. Следуя (4.1)-(4.2), составляем шаблон и решаем задачу:
|
|
Рис.4.1. Шаблон с решением задачи 4.1
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.2. Хозяйство имеет участки земли I, II и III для посадки трех сортов картофеля. Урожайности (ц/га) заданы в таблице. В таблице также заданы размеры участков (га) и минимальное количество (ц) картофеля по каждому сорту, которое необходимо получить.
|
I |
II |
III |
Минимальный сбор |
Сорт 1 |
300 |
400 |
420 |
3000 |
Сорт 2 |
450 |
380 |
400 |
5000 |
Сорт 3 |
400 |
350 |
370 |
8000 |
Площадь (га) |
400 |
700 |
580 |
|
Определить план посадки картофеля, обеспечивающий максимальный общий сбор урожая.
Ответ: План посадки указан в таблице
-
I
II
III
Сорт 1
0
700
580
Сорт 2
380
0
0
Сорт 3
20
0
0
Общий урожай составит 702600 центнеров.
Задача 4.3. Для заготовки силоса требуется засеять четыре участка земли I, II, III, IV клевером, люцерной, кукурузой и горохом. Урожайности культур (ц/га) заданы в таблице. В таблице также заданы размеры участков (га). В составе силоса кукурузы и гороха должно быть не менее 20%, а клевера и люцерны – не менее 30% по весу.
|
I |
II |
III |
IV |
клевер |
300 |
320 |
280 |
250 |
люцерна |
320 |
260 |
290 |
300 |
кукуруза |
400 |
420 |
400 |
450 |
горох |
500 |
520 |
480 |
530 |
Площадь (га) |
300 |
250 |
280 |
400 |
Определить план засева, дающий максимум силосной массы.
Ответ: План засева указан в таблице
|
I |
II |
III |
IV |
клевер |
0 |
250 |
189,2949 |
0 |
люцерна |
300 |
0 |
90,705096 |
35,660317 |
кукуруза |
0 |
0 |
0 |
197,04085 |
горох |
0 |
0 |
0 |
167,29883 |
Общая силосная масса составит 443341,9 центнеров.
Задача 4.4. Два хозяйства выращивают свеклу, капусту и морковь. Урожайности культур на полях приведены в таблице. Там же указаны минимальные количества каждого из корнеплодов (ц), которые должны быть собраны, площади земли (га), а также прибыльность каждой культуры (руб./ц).
|
свекла |
капуста |
морковь |
Площадь (га) |
Хозяйство 1 |
300 |
500 |
280 |
200 |
Хозяйство 2 |
320 |
450 |
350 |
300 |
Мин. сбор |
6000 |
10000 |
8000 |
|
Прибыльность |
1000 |
1200 |
2000 |
|
Найти распределение земель под культурами, при котором будет обеспечена максимальная прибыль урожая.
Ответ: План посадки указан в таблице
|
свекла |
капуста |
морковь |
Хозяйство 1 |
20 |
180 |
0 |
Хозяйство 2 |
0 |
0 |
300 |
Прибыль будет равна 324 млн. руб.
Задача 4.5. Имеется два участка поливных земель I, II и III, предназначенных для выращивания огурцов и помидоров. Урожайности земель (центнер/га) заданы в таблице. В таблице также заданы размеры участков (га) и сезонные издержки (руб) на обработку гектара земли каждого из участков, а также доходность каждой культуры (руб/центнер).
|
огурцы |
помидоры |
площадь |
Издержки (руб/га) |
I |
500 |
800 |
50 |
100000 |
II |
800 |
700 |
80 |
120000 |
III |
600 |
600 |
40 |
170000 |
доходность |
5000 |
4000 |
|
|
Найти распределение земель под культурами, при котором будет обеспечена максимальная прибыль урожая.
Ответ: План посадки указан в таблице
-
огурцы
помидоры
I
0
50
II
80
0
III
40
0
Прибыль будет равна 578600 тыс. руб.