5.6. Нестационарное уравнение Шрёдингера. Трёхслойные схемы.
Рассмотрим трёхслойную схему с весами :
,
(5.6.1)
;
;
,
где
,
,
,
- вещественное число.
(x-h,t+τ) (x,t+τ) (x+h,t+τ)
(x-h,t)
(x,t)
(x+h,t)
(x-h,t-τ) (x,t-τ) (x+h,t-τ)
Рис.3
При любых σ схема имеет второй порядок аппроксимации:
Будем искать частное решение для неё в виде:
Подставляя
это выражение в уравнение (5.6.1) и учитывая,
что
, получаем для q
(индекс k
у
и
опускаем).
;
.
Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:
Отсюда видно, что
при
Корни квадратного уравнения
и
Таким
образом, частные решения
не нарастают с ростом m:
,
если
,
.
Полагая
будем искать общее решение нашей задачи
в виде :
,
где и находятся из начальных условий:
,
или
Можно показать (см. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М.-1977), что мы придём к оценке вида:
при
.