5.5. Метод прогонки и его устойчивость.

Рассмотрим задачу:

(5.5.1)

,

причём для всех .

Требуется указать простой способ решения системы (5.5.1). Идея заключается в сведении разностного уравнения второго порядка к трём разностным уравнениям первого порядка, вообще говоря, нелинейным. Предположим, что имеется рекуррентное соотношение с неопределёнными коэффициентами и .

(5.5.2)

Выражение (5.5.2) для подставим в (5.5.1):

заменим в соответствии с (7.2). Получим

Это уравнение выполнено для всех , если

,

Отсюда получаем рекуррентную формулу для коэффициентов :

, (5.5.3)

(предполагаем, что знаменатель в (5.5.3) отличен от нуля; условия, при которых это выполняется, поясним ниже), а также рекуррентную формулу для коэффициентов :

, (5.5.4)

Если коэффициенты и известны и известно значение , то, двигаясь, справа налево , мы определим последовательно все . Уравнения для и - нелинейные, они связывают значения этих функций в двух соседних точках.

Для , задача решается слева направо, для - в противоположном направлении. Для каждой из функций α, β, y надо решать задачу Коши. Чтобы найти начальные условия для этих функций, используем граничные условия. Так как формула (5.5.2) справедлива при , то при имеем

Но с другой стороны

поэтому получаем

(5.5.5)

(5.5.6)

Таким образом, для функций и получим задачи Коши : для α – это (5.5.3) и (5.5.5), для β – это (5.5.4) и (5.5.6).

После того, как функции и найдены для всех , необходимо найти граничное условие . Оно определяется из решения системы

,

откуда, если , получаем

(5.5.7)

Таким образом, для определения получается задача Коши (5.5.2), (5.5.7) (формулы обратной прогонки). Изложенный метод называется методом правой прогонки.

Все проделанные нами выкладки были проведены достаточно формально. Мы делим на выражения и , не зная когда это можно делать. Укажем достаточные условия, при которых формулы (5.5.2) и (5.5.7) имеют смысл. Они имеют вид :

,

, (5.5.8)

Доказано, что при этих условиях имеет место неравенство:

, (5.5.9)

Вычисления по формулам прогонки ведутся на компьютерах приближённо. В результате накопления ошибок округления фактически находится не функция - решение задачи (7.1), а - решение той же задачи с возмущёнными коэффициентами и правыми частями . Возникает вопрос. Не происходит ли в ходе вычисления возрастание ошибки округления, приводящей в итоге, как к потере точности самого решения, так и вообще к невозможности продолжать вычисления из-за роста получаемых величин? Можно указать также ситуации, когда эта ошибка будет экспоненциально расти с ростом номера “k” при вычислении по рекуррентным формулам величины .

Доказано, что при выполнении условия (5.5.9) для метода прогонки этого не происходит.

Аналогично формулам (5.5.2) – (5.5.7) получаются формулы левой прогонки:

, (5.5.10)

, (5.5.11)

, (5.5.12)

(5.5.13)

Условия (5.5.8) гарантируют применимость формул левой прогонки и их вычислительную устойчивость, т.к. при них будет выполняться для всех условие

(5.5.14)

Комбинируя левую и правую прогонки, получают метод встречных прогонок. Пусть , - некоторый внутренний узел. Тогда в области вычисляются по формулам (5.5.2) – (5.5.7) коэффициенты прогонки и (для ).

,

,

В области по формулам (5.5.10) – (5.5.13) находятся и (для ):

,

,

При сшиваем решения в форме (5.5.2) и (5.5.10). Из формул

,

находим

Последняя формула имеет смысл, т.к. , поскольку хотя бы одна из величин или меньше единицы в силу условий (7.8). Зная , можно по формуле (5.5.2) найти все при , а по формуле (5.5.10) – значения при .

Метод встречных прогонок может оказаться полезным, если, например, требуется найти лишь в одном узле .