5.4. Проверка признака Неймана. Выбор устойчивой двухслойной
разностной схемы для решения линейного уравнения Шредингера.
Воспользуемся спектральным критерием Неймана для проверки необходимого критерия устойчивости, применительно к поставленной задаче и рассмотрим частные случаи. Запишем разностное уравнение в виде:
(5.4.1)
Вариант
1.
(Чисто
явная схема).
(5.4.2)
Определим
гармонику
,
и подставим в (5.4.2)
Сокращая
обе части на
получим уравнение для параметра λ
или
т.к.
то получим:
или
Найдём модуль λ:
(5.4.3)
По
Нейману должно выполняться условие
.
Проверим это.
Если
,
а значит и
или
или
,
т.е.
Полученное неравенство, невыполнимо ни при каких условиях.
Согласно критерию Неймана, явная схема не может быть использована при решении уравнения Шрёдингера.
Вариант
2.
.
или
где
или
Умножим
числитель и знаменатель на величину:
.
Получим:
,
где
;
.
Вычислим
:
Чтобы имел место критерий Неймана, необходимо выполнения условия:
.
Потенциал может быть и отрицательным. Условие не зависит от выбора шага интегрирования τ.
Если
,
то имеем:
.
Поскольку
,
то получим
(
)
Мы
видим, что для того, чтобы эта неявная
схема была устойчива, нужно, чтобы в
заданном интервале решения задачи, типа
[a;b],
потенциал
в каждой точке
на
любом временном слое удовлетворял
условию (
).
То есть, мы имеем определенные (для ряда
задач – существенные) ограничения
на величину потенциала
.
Вывод: данная неявная схема применима
для решения уравнения Шредингера, но
при выполнении ограничения (
)
на потенциал
.
Вариант
3.
Условие
,
что невыполнимо
ни
при каких условиях.
Вариант
4.
.
Проверим выполнение условия :
Получили условие, противоположное условию для случая 2. А именно:
(
)
Вывод: данная неявная схема применима для решения уравнения Шредингера, но при выполнении ограничения ( ) на потенциал .
Из проведенного выше исследования видно, что для численного решения уравнения Шредингера может быть использована только неявная схема типа схемы Кранка-Николсон, но при определенных ограничениях на потенциал . В любом варианте для численной реализации решения этой задачи мы вынуждены будем применить один из вариантов метода прогонки.