5.3. Семейство шеститочечных схем аппроксимирующих одномерное

нестационарное уравнение Шрёдингера.

Для численного решения уравнения Шрёдингера:

(5.I)

введём в рассмотрение сетки , и сетку в с шагом и . Обозначим через сеточные решения в узле сеточной функции y, определённой на . Заменяя производную первой разностной производной, а - второй разностной производной в уравнении Шрёдингера (5.I) на их разностные аналоги, и вводя произвольный комплексный параметр , получим однопараметрическое семейство разностных схем (схема с весами):

(5.3.1)

Здесь мы ввели обозначения:

Схему (5.3.1) будем называть иногда схемой с весами. Краевые и начальные условия аппроксимируются следующим образом

=0 , =0 , (5.3.2)

(5.3.3)

Оператор Λ имеет вид:

(5.3.4)

Разностную задачу, определяемую условиями (5.3.1)-(5.3.4) будем называть задачей II, а исходную задачу (5.I) – задачей I. Разностная схема (5.3.1) написана на шести точечном шаблоне: , , , , который представлен на рис.1:

(x-h,t+τ) (x,t+τ) (x+h,t+τ)

(x-h,t) (x,t) (x+h,t)

Рис.1

Центр этого шаблона находится в точке .Уравнение (5.3.1) пишется в узлах называемых внутренними узлами. Множество всех внутренних узлов сетки будем обозначать . Краевые и начальные условия (5.3.2) и (5.3.3) пишутся в граничных узлах сетки . Множество узлов сетки , лежащих на прямой обычно называют слоем. Схема (5.3.1) содержит искомые функции на двух слоях и поэтому называется двухслойной схемой.

От выбора параметра σ, как мы убедимся в дальнейшем, зависят точность и устойчивость схемы. Рассмотрим схемы соответствующие частным случаям σ. Прежде всего, заметим, что в случае уравнения Шрёдингера, как это отмечено в работе А.А.Самарского, параметр σ является комплексным числом

, (5.3.5)

где и – вещественные числа.

В [6] показано, что явная схема для решения уравнения Шрёдингера непригодна. Действительно, если положить параметр , то в этом случае мы получим четырёх точечную схему с шаблоном на Рис.2

(x,t+τ)

(x-h,t) (x,t) (x+h,t)

Рис.2

(5.3.6.а)

или

(5.3.6)

Эта схема определена на шаблоне, , , .

Значение в каждой точке слоя (нового слоя) выражается по явной формуле (5.3.6) через значения на слое (старого слоя). Так как при времени задано начальное значение: , то формула (5.3.6) позволяет последовательно определить величину на любом слое. Схема (4.6) называется явной.

Используя спектральный признак фон Неймана, исследуем явную схему (5.3.6) на устойчивость. В соответствии с формулой (5.2.2) зададим гармонику в виде:

(5.3.7)

Подставим (5.3.7) в (5.3.6) и, сокращая на правую и левую части, получим:

Поскольку , то мы имеем:

По определению модуля комплексного числа имеем:

(5.3.8)

На комплексной плоскости формула Неймана имеет вид:

Правая часть (4.8) максимальна (по переменной ), если . Тогда имеем:

Отсюда следует, что необходимо выполнение условия

или

Последнее требование невозможно. Следовательно, раз условие устойчивости для явной схемы невыполнимо ни при каких значениях шагов интегрирования и , то такую разностную схему мы не можем использовать для численного решения поставленной задачи I.