5.2. Спектральный признак устойчивости Неймана для разностной

задачи Коши.

Пусть дана непрерывная задача (5.1.1) и пусть на сетке её аппроксимирует задача (5.1.2). Будем рассматривать только линейные уравнения в частных производных и аппроксимирующие их линейные разностные схемы. В таком случае определение устойчивости может быть сформулировано следующим образом:

Определение. Разностная схема (5.1.2) устойчива, если для любой функции f_n разностная задача (5.1.2) имеет единственное решение y_n такое что:

(5.2.1)

с константой с, не зависящей от параметра h.

Неравенство (5.2.1) означает, что норма приближённого решения отличается от нормы входных данных на некоторую постоянную величину. Напомним, что в простейшем случае она может быть выражена соотношением (5.1.4).

Рассмотрим один из методов исследования устойчивости разностных схем, который называют методом гармоник или спектральным признаком устойчивости Неймана. Этот метод широко используется в исследовании разностных схем, аппроксимирующих эволюционные уравнения (5.1.4).

Будем рассматривать только задачу Коши и однородные уравнения. Кроме того, коэффициенты уравнений будем считать постоянными, “замораживая” их, даже если они фактически не постоянны в исходной задаче (5.1.1). При таких предположениях разностные уравнения имеют частные решения в виде гармоник произвольной частоты ω:

, (5.2.2)

где c=const; i – мнимая единица; α = ωh; ω – произвольные натуральные числа; λ=λ(α,τ,h) подлежит определению для каждой конкретной системы; (τ – шаг по t; h – шаг по х – в одномерной эволюционной задаче для функции u(x,t)).

После таких предположений входными данными для разностной задачи будут являться только начальные условия.

Условие устойчивости по начальным данным для решений (5.2.2) на основании определения (5.1.1) сводится к требованию ограниченности амплитуды λ этих гармоник:

(5.2.3)

Требуя выполнения неравенства (5.2.3) при произвольном α (т.е. для произвольных гармоник), мы можем найти необходимое условие устойчивости разностной схемы (5.1.2), которое может наложить некоторые ограничения на шаги сетки τ и h. Проверку условия (5.2.3) можно свести к более простому условию:

, (5.2.4)

где А – некоторая константа. Доказательство этого утверждения приведено в [4]. Неравенство (5.2.4) называется спектральным признаком Неймана устойчивости разностных схем.

Изложим широко применяемый на практике способ Неймана исследования разностных задач с начальными данными. Ограничимся случаем разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами. Будем исследовать устойчивость по начальным данным. Не умоляя общности рассуждений, исследование проведём на простейшем примере разностной задачи Коши:

(5.2.5)

Положив

запишем задачу (5.2.5) в виде:

(5.2.6)

Определим нормы и в линейных нормированных пространствах и равенствами:

(5.2.7)

Тогда условие устойчивости задачи (5.2.6):

(5.2.8)

в терминах (5.2.7) примет вид:

, (5.2.9)

где c=const не зависит от h (и от τ=rh, r=const). Условие (5.2.9) должно выполнятся при произвольных и .

В частности, для устойчивости необходимо, чтобы оно выполнялось при произвольных и , т.е. чтобы решение задачи

(5.2.10)

удовлетворяло условию

(5.2.11)

при произвольной ограниченной функции .

Свойство (5.2.11), необходимое для устойчивости (5.2.9) задачи (5.2.5), называется устойчивостью задачи (5.2.5) относительно возмущения начальных данных. Оно означает, что возмущение , внесённое в начальные данные задачи (5.2.5), вызовет возмущение решения задачи (5.2.5), которое в силу (5.2.10) не более чем в “с” раз превосходит возмущение начальных данных, причём “с” не зависит от h.

Для условия устойчивости задачи Коши (5.2.5) по начальным данным необходимо, чтобы условие (5.2.11) выполнялось, в частности, если есть какая-нибудь гармоника

(5.2.12)

где α – вещественный параметр, а - мнимая единица. Но решение задачи (5.2.10) при начальном условии (5.2.12) имеет вид:

(5.2.13)

где определяется путём подстановки выражения (5.2.13) в однородное разностное уравнение задачи (5.2.10):

(5.2.14)

Для решения (5.2.13) справедливо равенство:

Тогда для выполнения условия (5.2.11) необходимо, чтобы при всех вещественных α выполнялось неравенство:

(5.2.15)

или

(5.2.16)

где c₁ – некоторая постоянная, не зависящая от α и τ. Условия (5.2.15) и (5.2.16) - необходимое спектральное условие Неймана для рассматриваемого нами примера. Спектральным оно называется по следующей причине.

Существование решения вида (5.2.13) показывает, что гармоника является собственной функцией оператора перехода

, (5.2.17)

который в силу разностного уравнения (5.2.10) ставит в соответствие сеточной функции , определённой на слое t=t_p, сеточную функцию , определённую на слое t=t_p+1. Число является соответствующим этой гармонике собственным числом оператора перехода. Линия, которую пробегает точка на комплексной плоскости, когда α пробегает вещественную ось, вся состоит из собственных значений и является спектром оператора перехода.

Таким образом, необходимое условие устойчивости (5.2.16) можно сформулировать так: спектр оператора перехода, соответствующего разностному уравнению задачи (5.2.10), должен лежать в круге радиуса на комплексной плоскости. В нашем примере спектр (5.2.14) не зависит от шага τ. Поэтому условие (5.2.16) равносильно требованию, чтобы спектр лежал в единичном круге:

(5.2.18)

Воспользуемся сформулированным признаком для анализа устойчивости задачи (5.2.5). Спектр (5.2.14) представляет собой окружность с центром в точке и радиусом к на комплексной плоскости.

В случае эта окружность лежит внутри единичного круга (касаясь его в точке λ=1), при r=1 совпадает с единичной окружностью, а при лежит вне единичного круга .

Соответственно необходимое условие устойчивости (5.2.18) выполнено при и не выполнено .

В общем случае задачи Коши для разностных уравнений и систем разностных уравнений необходимый спектральный признак устойчивости Неймана состоит в том, что спектр разностной задачи при всех достаточно малых h должен лежать в круге

(5.2.19)

на комплексной плоскости, как бы мало ни было заранее выбранное положительное число ε .

Заметим, что если для разностной задачи спектр окажется не зависящим от h (и от τ), то условие (5.2.19) равносильно требованию, чтобы спектр лежал в единичном круге (3.19).

Под спектром разностной задачи в условии (5.2.19) понимается совокупность всех , при которых соответствующее однородное разностное уравнение (или система уравнений) имеет решение вида

, (5.2.20)

где u⁰ – число (единица), если речь идёт о скалярном разностном уравнении, и числовой вектор, если речь идёт о векторном разностном уравнении, т.е. о системе скалярных разностных уравнений.

Если необходимое условие Неймана (5.2.19) не выполнено, то ни при каком разумном выборе норм нельзя ожидать устойчивости, а в случае его выполнения можно надеяться, что при некотором разумном выборе норм устойчивость имеет место.

Рассмотренный выше необходимый признак устойчивости Неймана для исследования разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами, можно применять и в случае разностной задачи Коши с непрерывными, но не постоянными коэффициентами, а также для задач в ограниченных областях, когда граничные условия задаются не только при t=0, но и на боковых границах. Также этим признаком можно пользоваться и для исследования нелинейных задач.