ЛЕКЦИЯ 5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

МЕТОДОМ КРАНКА – НИКОЛСОН.

5.1. Общая постановка разностной задачи уравнений математической

физики.

Использование разностных схем позволяет свести решение задачи для дифференциального уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений . При этом правые части уравнений, краевые и начальные данные (будем в дальнейшем называть их одним общим термином – входные данные), задаются с определённой погрешностью. В процессе самого численного решения системы также неизбежны ошибки, связанные с округлением. Естественно потребовать от разностной схемы, чтобы малые ошибки, допущенные во входных данных, не нарастали в процессе вычислений и не приводили к искажению решения.

Схемы, которые в процессе счёта усиливают начальные погрешности, называются неустойчивыми и не могут быть использованы на практике.

Пусть имеется непрерывная дифференциальная задача для функции :

, (5.1.1)

где L – дифференциальный оператор, f – правые части (входные данные).

Общая формулировка такой задачи заключается в следующем. Требуется найти функцию u, удовлетворяющую уравнению (5.1.1) во внутренних точках области G, а на участках Г_i границы необходимым граничным условиям, обеспечивающим корректность поставленной задачи.

Применительно к задачам математической физики принято говорить, что задача поставлена корректно, если выполнены два условия:

1) задача однозначно разрешима при любых входных данных из некоторого класса;

2) решение задачи непрерывно зависит от входных данных.

Это требование называют устойчивостью схемы по входным данным или просто устойчивостью.

Для применения разностного метода решения уравнений в частных производных на первом шаге заменяют область непрерывного изменения аргументов (независимых переменных) дискретной областью , где ω_n – внутренняя часть сеточной области, γ_n – её граница. В простейшем случае сеточная область может быть образована совокупностью точек пересечения линий сетки, параллельных осям координат, удалённых друг от друга на расстояния . Они называются шагами сетки по соответствующим направлениям и представляют собой малые параметры. Узлы, лежащие внутри ω_n, образуют совокупность внутренних узлов. Точки пересечений линий сетки с границей Г образуют γ_n – совокупность граничных узлов сеточной области. Разумеется, существует множество других способов построения сеточной области. В общем случае сетка может быть неравномерной, когда шаги h_i по направлениям меняются (h_i ≠ const). В случае криволинейной сетки за шаги сетки принимаются расстояния между соседними узлами, лежащими на одной линии.

При стремлении шагов сетки к нулю сетка сгущается, узлы равномерно покрывают расчётную область G и границу Г. Приближённые решение задачи (5.1.1) отыскиваются в узлах сетки. Совокупность значений приближённого решения в узлах сетки образует сеточную функцию y_n, которая будет отличаться от значений точного решения u_n в одних и тех же узлах.

Разностная задача отличается от исходной задачи (5.1.1) и записывается в виде:

, (5.1.2)

где L_n – конечно-разностный оператор, аппроксимирующий оператор L; y_n – приближённое сеточное решение; f _n – проекция правой части на сеточную область.

Чаще всего задача (5.1.2) – это задача решения достаточно большой системы линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами. Ошибка приближённого решения определяется как разность , а величина ошибки вычисляется по той или иной норме пространства сеточных функций:

, (5.1.3)

где за норму, например, можно принять максимальное по модулю значение y_n в узлах разностной сетки :

(5.1.4)

Абстрактные формулировки (5.1.1) и (5.1.2) позволяют определить общие, не зависящие от конкретной задачи требования к разностной схеме (5.1.2) , выполнение которых гарантирует малость ошибки приближённого решения.

Главная теорема теории разностных схем даёт ответ на вопрос о близости приближённого и точного решения.

Теорема. Если разностная схема (5.1.2) аппроксимирует (приближает) задачу (5.1.1), т.е. , и решение задачи (5.1.2) устойчиво (непрерывно зависит от входных данных, , где C=const, не зависящая от h), то разностное решение y_n сходится к точному u_n, т.е. . В этих определениях запись h→0 предполагает, что все шаги сетки h_i→0.

Таким образом, мы видим, что если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то она сходится (из аппроксимации и устойчивости следует сходимость). Порядок точности и скорость сходимости схемы определяется её порядком аппроксимации.