33. Степенева, показникові і логарифмічна функції.

Властивсті і графіки показникової функції

1. Область визначення функції a^x – множина R дійсних чисел. 2. Область значень функції a^x (якщо a≠1) – множина R₊ всіх додатних дійсних чисел. Якщо a=1, функція a^x при всіх x стала: вона дорівнює 1. 3. Якщо a>1, функція a^x зростає на всій числовій прямій; якщо 0<a<1, функція a^x спадає на множині R.

Логарифми та іх властивості.

Число називається логарифмом числа за основою , якщо

Логарифм добутку двох чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел:

Різниця логарифмів дорівнює логарифму дробу:

дозволяє переходити від одної основи до іншої,

,

.

а також:

Степеневі функції

 Степенева функція з натуральним показником - функція, задана формулою  де n - натуральне число.

При n=1 одержуємо функцію y=x, її властивості розглянуті на сторінці «Лінійна функція»

При n=2;3 одержуємо функції   , :

  Нехай n - довільне парне число, більше двох: 4,6,8...   У цьому випадку функція y=xn має ті ж властивості, що і квадратична функція (див. сторінку сайту «Квадратична функція»).    Графік функції нагадує параболу , тільки вітки графіка при |х|>1 тим крутіше йдуть вгору, чим більше n, а при |х|<1 тим «тісніше притискаються» до осі Х, чим більше n.

  Нехай n - довільне непарне число, більше трьох: 5,7,9... У цьому випадку функція має ті ж властивості, що і функція .   Графік функції нагадує кубічну параболу.

Область визначення: при a < 0, при a > 0.

При натуральних показниках степеня a область визначення розширюєтья на всю числову вісь: .

Область значень: при a < 0, при a > 0.

34. Тригонометрична функції.

Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута, особливо корисні при дослідженні та моделюванні періодичних подій. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін трикутника, що містить кут, або як відношення координат точок по колу, або, більш загально, як нескінченні ряди, або як розв'язок диференційного рівняння.

Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.

синус (sin)

косинус (cos)

тангенс (tg = sin / cos)

котангенс (ctg = cos / sin)

35. Паралельність та перпендикулярність прямих площин у просторі, вектори і координати.

Вектор - це напрямлений відрізок або вектор - це паралельний перенос.

Якщо початок і кінець співпадають, вектор називають нульовим або О Два вектори називають рівними, якщо їх довжини рівні, а напрями співпадають.

Ознака паралельності прямої і площини

Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.

Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній).

Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Ознака паралельності площин

Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.

Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.

Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок).

Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ¬зліва).

Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки нижче).

Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.