Нелінійні системи та їх аналіз

Нелінійні системи – це системи, що описуються нелінійними диференціальними рівняннями. Система автоматичного управління називається нелінійною, якщо до її складу входить хоча б один нелінійний елемент. На практиці найчастіше зустрічаються системи з безінерційними нелінійними елементами. Нелінійності в таких системах автоматичного керування зумовлені нелінійними статичними характеристиками елементів, що входять до складу системи. Такими елементами, зазвичай, є релейні елементи, в яких вихідна величина змінюється стрибкоподібно при неперервній зміні вхідної величини, логічні перемикаючі пристрої, які дозволяють змінювати структуру системи залежно від значення деяких її координат, підсилювачі із насиченням, в яких відбувається обмеження координат, машини та механізми з мертвими зонами і люфтами тощо.

Ми будемо розглядати вузький клас нелінійних САУ, що характеризуються такими особливостями:

- САУ складається з лінійної частини, яка описується лінійним диференціальним рівнянням із постійними коефіцієнтами, і нелінійного елемента;

- нелінійний елемент є безінерційним, і його вхідна та вихідна величини пов’язані нелінійними алгебраїчними рівняннями;

- нелінійних елементів може бути декілька, але вони не повинні розділятись лінійними інерційними ланками.

Нелінійні системи, в порівнянні з лінійними, мають ряд принципових особливостей. Зокрема, такими особливостями є:

- не виконується принцип суперпозиції, і дослідження нелінійної системи при декількох впливах не можна зводити до дослідження при одному впливі;

- стійкість та характер перехідного процесу залежать від величини початкового відхилення від положення рівноваги;

- при фіксованих зовнішніх впливах можливі декілька (а іноді і безліч) положень рівноваги;

- у нелінійних системах виникають вільні усталені процеси, які в лінійних системах неможливі (наприклад, автоколивання).

Універсальих аналітичних (математичних) методів дослідження нелінійних систем не існує. В процесі розвитку теорії автоматичного управління було розроблено різні математичні методи аналізу та синтезу нелінійних систем, кожен з яких може бути застосованим до певного класу систем та задач. Найбільш широко застосовними методами дослідження нелінійних систем є:

- метод фазового простору (площини);

- метод функцій Ляпунова;

- метод гармонічної лінеаризації (метод гармонічного балансу);

- методи дослідження абсолютної стійкості.

Будь-яке дослідження більш чи менш складних нелінійних систем, як правило, закінчується математичним моделюванням. І у цьому відношенні математичне моделювання є одним із універсальних (не аналітичних) методів дослідження.

Статичні характеристики.

Більшість статичних характеристик реальних нелінійних елементів може бути зведена до обмеженого числа типових. Характеристики типових нелінійних елементів зведено в табл. 1.1.

Таблиця 1.1.

№	Назва елемента	Характеристика	Математичний опис
1	Ланка із зоною нечутливості
2	Пропорційна ланка із насиченням
3	Ідеальне двопозиційне реле
4	Характеристика з люфтом
5	Ідеальне трипозиційне реле
6	Реальне двопозиційне реле

У керуючих пристроях автоматичних систем поряд з релейними елементами використовуються так звані особливі нелінійності: добуткова ланка, елементи зі змінною структурою, елементи логічного типу.

Добуткова ланка використовується в обчислювальних блоках систем для обчислення квадрату сигналу і для визначення модуля сигналу.

Використання керуючих пристроїв зі змінною структурою створює великі можливості для покращення якості систем. У таких пристроях до основного контуру системи залежно від визначених умов вмикається або лінійна ланка W₁, або лінійна ланка W₂.

Нелінійності логічного типу залежно від комбінацій значень вхідних змінних видають сигнал, що дорівнює +1, -1 або 0.

Види з’єднань нелінійних елементів та розрахунок сумарних характеристик.

Якщо у систему входить декілька нелінійних елементів, з’єднаних послідовно, паралельно або зустрічно-паралельно, то сумарну характеристику можна побудувати за певними правилами.

П аралельне з’єднання нелінійних елементів. При паралельному з’єднанні нелінійних елементів сумарну характеристику будують як геометричну суму нелінійних характеристик окремих елементів (рис. 1.1).

Послідовне з’єднання двох нелінійних елементів. При послідовному з’єднанні нелінійних елементів, вихідна величина одного нелінійного елемента є вхідною для наступного нелінійного елемента (рис. 1.2 а). Тому під час побудови сумарної нелінійної характеристики систему координат другої характеристики повертають на 90^, сполучаючи осі і .

У першій чверті будують характеристику НЕ1, в другій – НЕ2, в третій проводять бісектрису, за допомогою якої у четвертій чверті отримують сумарну нелінійну характеристику (рис. 1.2 б).

З’єднання нелінійних елементів зі зворотнім зв’язком.

Рис. 1.3. а) структурна схема з’єднання елементів зі зворотнім звязком; б) побудова сумарної (ІІІ) нелінійної характеристики; в) побудова сумарної (ІІІ) нелінійної характеристики при додатньому зворотньому звязку

При побудові результуючої характеристики нелінійного елемента НЕ1, охопленого нелінійним зворотнім зв’язком з характеристикою НЕ2 (рис. 1.3 а) в першому квадранті будуємо характеристику елемента НЕ1, а в другому – елемента НЕ2, повернувши систему координат протигодинникової стрілки на 90 градусів (щоб вісь вихідного сигналу НЕ1 співпала з віссю вхідного сигналу НЕ2). В цьому випадку результуюча характеристика отримається як геометрична сума характеристик НЕ1 та НЕ2, просумованих в напрямку осі х_вх.