3. Теорема 3. О соответствии опорному плану злп угловой точки ее многогранника решений.

Каждому опорному плану ЗЛП соответствует угловая точка многогранника решений ЗЛП.

Иначе эту теорему можно сформулировать так: если известно, что система векторов А₁,А₂,…,А_k (k≤n) в разложении А₁ х₁ +А₂ х₂+…+А_n х_n = В линейно независима и такова, что А₁ х₁ +А₂ х₂+…+А_k х_k = В, где все х_j ≥0, то точка Х = ( х₁ , х₂ , …, х_k , 0, …, 0) является угловой точкой многогранника решений. Здесь Х – n-мерная точка (или n-мерный вектор), последние n-k компонент которой равны нулю.

Доказательство:

Предположим, что точка Х не является угловой. Тогда она может быть представлена как линейная комбинация двух других точек Х₁ и Х₂ многогранника решений, т.е.

Х=λ₁Х₁ + λ₂Х₂;

λ₁ + λ₂ = 1;

λ₁ ≥0; λ₂ ≥0;

Поскольку компоненты векторов Х₁ и Х_2, значения λ₁ и λ₂ неотрицательны и последние n-k компонент вектора Х равны нулю, то соответствующие n-k компонент векторов Х₁ и Х₂ также должны быть равны нулю, т.е.

Х₁=(х₁⁽¹⁾, х₂⁽¹⁾, …, х_k⁽¹⁾,0,…,0);

Х₂=(х₁⁽²⁾, х₂⁽²⁾, …, х_k⁽²⁾,0,…,0);

Т.к. Х₁ и Х₂ - планы, то

А₁х₁⁽¹⁾ + А₂х₂⁽¹⁾ + …+ А_kх_k⁽¹⁾ =В;

А₁х₁⁽²⁾ + А₂х₂⁽²⁾ +…+ А_kх_k⁽²⁾ =В.

Вычитая из первого соотношения второе, получаем:

(х₁⁽¹⁾ - х₁⁽²⁾)А₁+(х₂⁽¹⁾ – х₂⁽²⁾)А₂ + …+(х_k⁽¹⁾ – х_k⁽²⁾)А_k = 0.

По предположению, векторы А₁,А₂,…,А_k линейно независимы, поэтому последнее соотношение выполняется, если

(х₁⁽¹⁾ - х₁⁽²⁾)=0; (х₂⁽¹⁾ – х₂⁽²⁾)=0; …; (х_k⁽¹⁾ – х_k⁽²⁾)=0.

Отсюда

х₁⁽¹⁾ = х₁⁽²⁾; х₂⁽¹⁾ = х₂⁽²⁾; х_k⁽¹⁾ = х_k⁽²⁾.

Итак, Х невозможно представить как выпуклую линейную комбинацию двух других точек многогранника решений. Следовательно, Х – угловая точка.

5. Теорема 4. О соответствии угловой точке многогранника решений злп ее опорного плана.

Каждой угловой точке многогранника решений ЗЛП соответствует опорный план ЗЛП.

Эту теорему можно сформулировать так: если Х = ( х₁ , х₂ , …, х_n) – угловая точка многогранника решений, то векторы в разложении А₁Х₁ +А₂Х₂+…+А_nХ_n =В, соответствующие положительным х_i, являются линейно независимыми.

Доказательство:

Без ограничения общности можно положить не равными нулю первые k компонент вектора Х так, что

.

Проведем доказательство от противного. Допустим, что система векторов А₁,А₂,…,А_k линейно зависима. Тогда существуют такие числа не равные нулю, при которых выполняется соотношение

.

По условию,

А₁ х₁ +А₂ х₂+…+А_k х_k = В.

Зададим некоторое число и умножим его на равенство .Прибавляя и вычитая результат из А₁ х₁ +А₂ х₂+…+А_k х_k = В, получим:

Таким образом, система уравнений А₁ х₁ +А₂ х₂+…+А_k х_k = В имеет два решения, которые могут и не быть планами:

Поскольку все х_i >0, то число можно выбрать настолько малым, что первые k компонент Х₁ ,Х₂ примут положительные значения, тогда Х₁ и Х₂ - планы. При этом т.е. Х - выпуклая линейная комбинация точек Х₁ и Х₂ , что противоречит условию теоремы о том, что Х- угловая точка.

Итак, предположение, что система векторов А₁,А₂,…,А_k линейно зависима, привело к противоречию. Следовательно, сделанное допущение неверно, а значит, система векторов линейно независима.

_{Следствие 1. Поскольку векторы А1},А₂,…,А_k имеют размеренность m, то угловая точка многогранника решений имеет не более чем m положительных компонент х₁ >0,

_{Следствие 2. Каждой угловой точке многогранника решений соответствует k≤m линейно независимых векторов системы А1, А2, …, Аk.}