Елементи теорії ймовірностей

Приклад 8. У класі навчається 20 учнів, 15 із них відвідують математичний гурток. Яка ймовірність того, що навмання обраний учень виявиться членом математичного гуртка?

Розв’язання

Нехай А — подія «навмання вибраний учень є членом математичного гуртка». Одного учня з 15 можна вибрати 15 способами, а одного учня з 20 можна вибрати 20 способами.

m= 15; n=20.

Тоді, .

Відповідь: .

Приклад 9. Із 15 робітників 10 — штукатури, а 5 — маляри. Навмання відбирається бригада з 5 робітників.

Яка ймовірність того, що серед них буде 3 маляри і 2 штукатури?

Розв' язання

Нехай А — подія «у навмання вибраній бригаді буде 3 маляри і 2 штукатури», тоді п = . Трьох малярів із 5 можна вибрати способами, двох штукатурів з 10 можна вибрати способами, а 3 малярів із 5 і 2 штукатурів з 10 можна вибрати способами, тому т = ;

.

Відповідь: .

Приклад 10. У коробці 8 кульок, із них 3 білі. Навмання беруть одну за одною дві кульки, причому взяту кульку в коробку не повертають. Знайти ймовірність того, що обидві кульки будуть білі.

Розв'язання

Нехай А — подія «перша взята кулька біла», В — подія «друга взята кулька біла», тоді АВ — подія «обидві взяті кульки білі», тоді .

Після того як відбулася подія А, у коробці залишилося 7 кульок, із них тільки 2 білі.

Отже, Р_А(В) = ; Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) = .

Відповідь: .

Приклад 11. Два стрільці стріляють незалежно один від одного в одну й ту саму ціль. Ймовірність влучення

для першого стрільця дорівнює 0,8, а для другого — 0,7. Визначити ймовірність влучення в ціль.

Розв'язання

Нехай подія А — у ціль влучив хоча б один із стрільців. В — подія «у ціль влучив перший стрілець» С — подія «у ціль влучив другий стрілець», тоді

Р(А) = 1 - (1 - Р(А))(1 - Р(В)) = 1 - (1 - 0,8)(1 - 0,7) = 1 - 0,2 0,3 = 1 - 0,06 =0,94.

Відповідь: 0,94.

Елементи статистики

Приклад 12. Дано вибірки: а) 1; 2; 8; 4; 2; 3; 5; 4; 2; 3;

б) 2; 4; 2; 5; 2; 3; 4; 8; 4; 3; в) 1; 2; 3; 2; 2; 1; 3; 3; 1.

Знайти моду й медіану.

Розв’язання

Числові дані кожної вибірки розмістимо в порядку зростання:

а) 1; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 8. М_о = 2, М_е =

б) 2; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 5; 8. М_о1 = 2, М_о2 = 4, М_е =4

в) 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3. моди немає, М_е =2

Приклад 13. Випадкова величина Х має розподіл по частотах М, як показано в таблиці:

Х	2	5	6	8	10
М	1	3	2	1	2

Знайти середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання

Х	2	5	6	8	10
М	1	3	2	1	2
	-4,3	-1,3	-0,3	1,7	3,7
	18,49	1,69	0,09	2,89	13,69
	18,49	5,07	0,18	2,89	27,38

;

Відповідь.