Імовірність випадкової події

Імовірністю випадкової події А називається відношення кількості подій, які сприяють цій події, до кількості всіх рівноможливих подій, які утворюють певну групу подій під час певного випробування:

Р(А) = ,

де Р(А) — ймовірність події А; т — кількість подій, які сприяють події А; п — кількість усіх рівноможливих подій, які утворюють певну групу подій під час певного випробування.

0<Р(А)<1.

Подія А називається протилежною події А, якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається подія А.

Р( ) = 1 - Р(А).

Імовірність суми двох несумісних подій

Сумою подій А і В називається подія А + В, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія А, або подія В.

Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р(А + В) = Р (А) + Р(В).

Теорема множення ймовірностей

Добутком подій А і В називається подія , яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбуваються обидві події А і В.

Імовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої події, яка обчислюється за умови, що перша подія вже відбулася:

Р( ) = Р(А) Р_А (В),

де Р(В) —ймовірність події В за умови, що відбулася подія А.

Подія В називається незалежною від події А, якщо поява А не змінює ймовірності події В.

Тоді Р_А(В) = Р(В) і Р(АВ)= Р(А) Р(В).

Імовірність появи хоча б однієї з незалежних подій А₁, А₂, ... А_п можна обчислити за формулою:

Р(А₁ +А₂ + ... + А_п) = 1 - (1 - Р(А₁))(1 - Р(А₂)) ... (1 - Р(А_п)).

Елементи статистики

Сукупність, із якої роблять добір одиниць спостереження, називають генеральною сукупністю.

Сукупність одиниць, відібраних для вибіркового спостереження, називають вибіркою.

Рядом розподілу називають ряд чисел, які характеризують розподіл одиниць досліджуваної сукупності.

Ряд чисел, які характеризують розподіл одиниць досліджуваної сукупності залежно від величини ознаки, називається варіаційним рядом.

Мода — це значення ознаки, яке трапляється найчастіше в даному ряді розподілу. Медіана — це середня величина змінюваної ознаки, яка міститься в середині ряду, розміщеного в порядку зростання значень ознаки:

• якщо кількість чисел ряду непарна, то медіана — це число, розміщене посередині;

• якщо кількість чисел ряду парна, то медіана — це середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині.

Середнім значенням випадкової величини X називають середнє арифметичне всіх її значень:

Якщо випадкова величина X набуває значення х₁, х₂, ..., х_k відповідно до частот т₁, т₂, ..., т_k, то:

де n = m₁ + т₂ + ... + т_к.

Середнє квадратичне відхилення ,

де n = , М – частота

Приклади розв’язування задач Основні поняття комбінаторики

Приклад 1. Знайти член розкладу , який не містить х.

Розв'язання

, тоді 10 – k – 4k = 0; -5k = -10, k = 2.

Звідси

Відповідь. 45.

Приклад 2. Скількома способами можна п'ять солдат вишикувати в колону по одному?

Розв'язання

Р₅ = 5! = 1  2  3  4  5 = 120.

Відповідь: 120 способами.

Приклад 3. Знайти кількість різних трицифрових чисел, які можна скласти з цифр 0, 4, 5, що не повторюються.

Розв'язання

Р₃ = 3! = 1  2  3 = 6. Перестановки, що починаються з цифри 0, не є записом трицифрового числа. Тому шукана кількість трицифрових чисел дорівнює:

Р₃ - Р₂ = 3! - 2! = 6 - 2 = 4.

Відповідь: 4.

Приклад 4. На полиці стоять вісім підручників. Скількома способами можна поставити ці книги на полицю так, щоб алгебра, геометрія і фізика стояли поруч?

Розв'язання

Будемо розглядати підручники з алгебри, геометрії, фізики як одну книгу. Тоді на полиці треба розмістити не вісім книг, а 6. Це можна зробити Р₆ способами. Алгебру, геометрію і фізику можна розмістити Р₃ способами. Використовуючи правило множення, маємо, що шукана кількість способів дорівнює Р₆  Р₃ = 6!  3! = 1  2  3  4  5  6  1  2  3 = 36  120 = 4320.

Відповідь: 4320 способами.

Приклад 5. З 12 учнів треба вибрати трьох чергових. Скількома способами можна зробити такий вибір?

Розв'язання

Відповідь: 220 способами.

Приклад 6. Знайти кількість двоцифрових чисел, які можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо цифри в числі не повторюються.

Розв'язання

Відповідь: 20.

Приклад 7. У кошику лежать 8 різних яблук і 4 різні груші. Треба вибрати 3 яблука і 2 груші. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання

Вибрати 3 яблука з 8 можна способами. Вибрати 2 груші з 4 можна способами. Тоді за правилом добутку вибір потрібних фруктів можна здійснити  способами.

 =

Відповідь: 336 способами.