Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни

Державний вищий навчальний заклад

«Бердичівський коледж промисловості, економіки та права»

Т.С.Волобуєва, н.А.Родер

КОМБІНАТОРИКА, теорія ймовірностей та математична статистика Збірник завдань для підготовки до державної підсумкової атестації

Бердичів 2011

ЗМІСТ

Теоретичні відомості………………………………………………………………... Основні поняття комбінаторики……………………………………………. Елементи теорії ймовірностей……………………………………………… Елементи статистики………………………………………………………... Приклади розв’язування задач…………………………………………………… Основні поняття комбінаторики……………………………………………. Елементи теорії ймовірностей……………………………………………… Елементи статистики………………………………………………………... Вправи для самостійного розв'язування…………………………………………

3 3 4 6 7 7 9 10 12

Теретичні відомості Основні поняття комбінаторики

Правило суми: якщо елемент а можна вибрати т способами, а елемент b — п способами, то вибір «а або b» можна здійснити т + п способами.

Наприклад, якщо на столі лежать 8 яблук і 4 груші, то вибрати один із фруктів можна 8 + 4 = 12 способами.

Правило добутку: якщо елемент а можна вибрати т способами, а після цього елемент b можна вибрати п способами, то вибір «а і b» можна здійснити т п способами.

Наприклад, якщо на столі лежать 8 яблук і 3 груші, то вибрати пару фруктів — яблуко і грушу можна 8  3 = 24 способами.

Перестановки

Будь-яка впорядкована множина (порядок елементів істотний), яка складається з п елементів, називається перестановкою з п елементів.

Р_n — число перестановок з п елементів.

P_n = п!, де п! = 1  2  3  ...( n - 1)  п, (0! = 1).

Розміщення

Будь-яка впорядкована підмножина з п елементів даної множини, яка містить т елементів (n < т), називається розміщенням з т елементів по п.

— число розміщень з т елементів по п;

Комбінації

Будь-яка підмножина з п елементів (порядок елементів не істотний) даної множини, яка містить т елементів, називається комбінацією з т елементів по п.

— число комбінацій з т елементів по п;

Біном Ньютона

Нехай Т_k – k-ий член розкладу, тоді .

Елементи теорії ймовірностей

Подія — первісне поняття теорії ймовірностей. Під подією розуміють будь-яке явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається.

Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування або експерименту.

Події, які можуть відбутися, а можуть і не відбутися в процесі випробування або експерименту в однакових умовах, називаються випадковими подіями.

Події позначають великими буквами латинського алфавіту: А, В, ... .

Події А₁, А₂, ... , А_п називаються попарно несумісними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.

Імовірною називається подія, яка внаслідок даного випробування обов'язково має відбутися.

Неможливою називається така подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.

Рівноможливі події — події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.